t-设计与多重传递群和Z_4码

The study on t-design is one of the most important subjects in combinatorial design theory. When t>=3, the study on existence and classification of simple t-designs has received growing attention due to its high difficulty. Methods used widely in the construction of 2-designs failed to work well in the construction of 3-designs. Recently, much attention is attracted by the study on simple t-designs admitting a multiple-transitively group as an automorphism group. In this project, we will detect the simple 3-designs with small index, especially the simple 3-designs in which the index is minimal admitting PSL(2,q). We will give the necessary and sufficient conditions for their existence, study the structure of the orbits yielding them and classify them. We will also construct 3-designs from the supports of codes over Z_4 and decide the simplicity of the 3-designs obtained.

t-设计是组合设计理论的重要研究对象之一。特别是t>=3时, 单纯t-设计的存在性及分类的研究是一个目前国内外专家关注的难题。在2-设计的构造中较为常用并且十分有效的的方法在构造3-设计时却遇到了困难。近些年对以多重传递群为自同构群的单纯t-设计的研究十分活跃。我们将在本项目中考察以射影特殊线性群PSL（2，q）为自同构群、具有较小相遇数的单纯3-设计，特别是具有极小相遇数的单纯3-设计。我们将争取给出其存在的充分必要条件，刻画构成其区组的轨道结构，从而给出这些3-设计的分类。在本项目中，我们还将利用Z_4码的支撑来构造3-设计，这种3-设计可能产生重复区组，因此我们还将判断其单纯性。

t-设计是组合设计理论的重要研究对象之一。特别是t>=3时, 单纯t-设计的存在性及 分类的研究是一个目前国内外专家关注的难题。在2-设计的构造中较为常用并且十分有效 的的方法在构造3-设计时却遇到了困难。近些年对以多重传递群为自同构群的单纯t-设计 的研究十分活跃。我们将在本项目中我们着眼于t-设计构造中的代数方法。研究了射影特殊线性群PSL（2，q）为自同构群、具 有较小相遇数的单纯3-设计，特别是具有极小相遇数的单纯3-设计的存在性和构造问题。当 q= 1(mod 4)时， 我们给出了单纯3-（q+1, 5, 3）设计存在的充分必要条件。我们还对于任意素数幂q，深入刻画了以PSL（2，q）为自同构群的的3-(q+1, k, 1) 设计并证明了单纯3-(q+1, k, 2)设计的不存性。另外，我们还在尝试探索t-设计构造中的李代数方法的过程中得到了李代数方面的重要结论。共完成论文三篇，两篇已经发表，其中一篇整理打印中。

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