具有peakon、kink和kink-peakon相互作用解的可积系统研究

In recent years, the integrable systems with peakon solutions have attracted much attention in soliton theory. In this project, we will study integrable systems with peakon, kink, and kink-peakon interactional solutions. The studies mainly focus on: 1) constructing new integrable systems with peakon, kink, and kink-peakon interactional solutions; 2) the solutions of two-peakon and kink-peakon interactional dynamic systems, and the collisions between two-peakon and kink-peakon; 3) integrability of N-peakon and kink-peakon interactional systems; 4) smooth soliton solutions, Darboux transformations and algebra-geometric solutions of these systems.

具有peakon解的可积模型，蕴含丰富的数学与物理结构，近年来的研究十分活跃。本课题将研究具有peakon、kink以及kink-peakon相互作用解的可积系统的构造和精确求解。主要研究内容包括：1）新的具有peakon、kink以及kink-peakon相互作用解的可积系统的构造； 2）两peakon系统、kink-peakon相互作用系统的求解与碰撞研究；3）N-peakon系统以及kink-peakon相互作用系统的可积性；4）该类系统的光滑孤立子解、达布变换、Lax对非线性化与代数几何解。

以具有peakon解而著称的Camassa-Holm类型的方程，是近二十年来可积系统研究领域的热点之一。本课题主要研究了具有peakon、kink以及kink-peakon相互作用解的可积系统的构造和精确求解。通过本项目的研究，已取得如下主要研究成果：（1）提出了具有peakon、kink以及kink-peakon相互作用解的新可积系统，给出了这类系统的Lax表示、双Hamilton结构、无穷守恒律，推导了该类型系统的N-peakon解，并详细讨论了两peakon之间的相互作用；（2）提出了包含任意函数的两分量和多分量可积peakon系统，研究了它们的可积性质，得到了新型的peakon解（非行波类型peakon解）；（3）将peakon系统推广到了2+1维情形，获得了2+1维peakon解；（4）获得了 Camassa-Holm方程的sl(2)矩阵推广；（5）利用达布变换方法获得了 Camassa-Holm型方程的光滑孤立子解，改进了已有文献中的方法。研究成果丰富了可积系统的内涵，为具有peakon解的可积系统的研究提供了丰富的实例。

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