边界理论、外逼近，与分形上的微分方程

This project adopts both probabilistic and analytic approaches to study harmonic functions, Dirichlet forms, Laplacians and differential equations on fractals, especially self-similar sets that do not satisfy the post critically finite (p.c.f.) condition and those that have overlaps. Traditionally, there are two major methods in analysis on fractals: the probabilistic methods that constructs of Brownian motions, and the direct analytic method developed by Kigami that uses inner approximations. However, these approaches can only be applied to several classes of self-similar sets without overlaps...Boundary theory provides an alternative probabilistic approach for studying fractals. We will use this rich theory to extend recent results on Martin boundaries and harmonic functions, and define the Laplacian. On the other hand, we will use an analytic approach to study higher dimensional fractal Laplacians defined on bounded open sets by self-similar measures with overlaps. We propose to solve the wave propagation speed problem by first obtaining heat kernel estimates. Then we will use the theory developed on bounded open sets by our analytic approach, along with the idea of outer approximation, to construct Laplacians on self-similar sets. ..Our probabilistic and analytic approaches are complementary to each other and are non-traditional. Besides the above-mentioned theories and methods, we will integrate theories for the finite type and weak separation conditions. The goal of the project is to build a theoretical foundation for analysis on self-similar sets with overlaps, allowing for further investigation of physical phenomena on, and applications of, fractals.

本项目将循概率和分析两途径研究分形上的调和函数、狄氏形、拉普拉斯算子与微分方程。我们着重于非后临界有限，特别是有重叠的自相似集。一直以来,分形分析主要采取两方法：一是通过构造布朗运动的概率方法，二是Kigami内逼近的分析方法。然而，目前的理论只能应用在几类没重叠的自相似集上。.边界理论为分形研究提供了另一概率途径。我们将用该丰富的理论推广近期有关Martin边界与调和函数的结果, 并研究拉普拉斯算子。另一方面, 我们将通过分析途径研究高维有界开集上，由自相似测度定义的拉普拉斯算子。我们提议通过热核估计，解决波速问题。在此基础上，我们将结合外逼近的方法，定义自相似集上的拉普拉斯算子。.本项目的两途径是互补且非传统的。除了上述的理论和方法，我们还将利用有限型及弱分离两条件。我们的目标是在有重叠的自相似集上，建立分形分析的基本理论, 为进一步研究分形上的物理现象和分形的应用打下基础。

本项目研究了分形上的边界理论，外逼近，及有重叠分形上的微分方程。在热核估计、波速，分形拉普拉斯算子的谱，有限型分形的分析、几何、与测度性质等问题上取得了较突出的结果，为进一步研究分形上的微分方程打下基础。分形上无穷波速的特殊性质在物理、工程上或许有应用。对分形拉普拉斯算子，我们推导了一类有重叠分形上热核的次高斯估计，并证明了在此类分形上波速的无穷性；得出了算子的特征值的若干估计；在一类满足广义有限型条件的分形上得出了谱维数与特征值渐进公式；得出了有重叠分形上薛定谔算子的Bohr公式；研究了分形波动方程的存在、唯一性及数值逼近。这部分的研究成果超出了原来计划。我们研究了Hata树的边界理论，证明了定义在符号空间上一马氏链的Martin边界同胚于Hata树的树干，最小Martin边界为后临界集，而且再边界上的P-调和函数和Kigami定义的在吸引子上的调和函数是一致的。在外逼近问题上，我们研究了在有界区域定义并满足混合边界条件的拉普拉斯算子；得出了其拥有以特征函数为正交基的充要条件；利用这些理论，在Sierpinski垫上用外逼近方法构造了拉普拉斯算子。另外，本项目也研究了分形的基本性质，这些研究直接或间接的促进了项目的进展。我们证明了一族三维自仿tile与球同胚；证明了一大类二维自相似tile为拟圆盘，且一般自仿tile为非拟圆盘；求出了一类广义有限型测度的Lq谱，并证明其可导性；研究了无穷有重叠迭代函数系并证明了通过拓扑熵求极限集维数的公式；得出了有重叠有限型图递归自相似集边界的Hausdorff与盒维数。..本项目已发表SCI论文8篇，已接受待发表SCI论文1篇，已投稿论文4篇，尚未投稿论文4篇。合作召开了2个国际性学术研讨会和1个专题分会。项目主持人参加会议并作学术报告8次，多次访问了清华大学、香港中文大学、湘潭大学, 目前正在美国哈佛大学访问。主持人两名博士生赴美国访学交流6个月，赴美国康奈尔大学开会，且在“卡内基梅隆-佐治亚南方大学分形与分析研讨会”上作学术报告一次。

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