基于耦合方程组解不适定问题的多尺度新算法

In this proposal, we study fast adaptive multiscale regularization algorithms for linear and nonlinear ill-posed problems via coupled system. The basic idea is we first apply Tikhonov regularization method to the ill-posed problems, transform the Tikhonov regularized equation into an equivalent coupled system, and then develop fast methods for this system. The advantage of this method is to avoid computing the multiplication of the original operator and its adjoint operator or the adjoint operator of its derivative operator. With traditional projection methods and multiscale analysis, combined with matrix compression technique , we apply the fast multilevel augmentation method to the coupled system. Based on the coupled system, we investigate some new-type iterative algorithms for linear and nonlinear problems. we also study the design of adaptive algorithm,the selection of optimal regularization parameters, the choosing of stoping index and the analytical properties of the operators and its derivative operators.We then apply this method to image processing, and obtain some high accuracy and fast algorithms for image restoration.

本课题研究基于耦合方程组求解线性与非线性不适定问题的自适应、多尺度快速正则化算法。基本思想是对不适定问题应用Tikhonov正则化方法，将Tikhonov正则化方程转化为等价的耦合方程组，再提出基于耦合方程组的多尺度快速算法。此方法避免了计算两个算子的乘法，而将原算子与其共轭算子或者其导算子的共轭算子“分而治之”。在积分算子的情形，与Tikhonov正则化相比，此方法涉及的定积分重数减少了一半，这对高维问题的计算有重要意义。借助传统的投影方法与多尺度分析，结合矩阵压缩技术，先将此耦合方程组快速离散，再应用多层扩充法快速求解。在此耦合方程组的基础上，我们研究线性与非线性问题的新型迭代算法。探讨算法设计、最优正则参数和迭代次数的选取方法及算法实现过程中算子所应满足的一系列分析性质。作为应用，将此方法用于图像处理的连续模型，发展图像恢复的高精度快速方法。

不适定问题的解法研究是科学与工程计算中的热点问题。本项目研究基于耦合方程组解线性与非线性不适定问题的自适应、多尺度快速正则化算法。. 首先研究图像处理的连续积分方程模型。我们对一类积分核为高斯核的图像去模糊问题，应用Tikhonov正则化方法，结合多尺度配置法与矩阵压缩技术，将Tikhonov正则化方程转化为等价的耦合方程组，并对耦合方程组应用多尺度快速配置方法，这种方法极大地减少了数值积分的计算量。 . 其次考虑Banach空间中非线性不适定问题。研究了带一般一致凸正则项的Levenberg–Marquardt算法。此算法主要用于检测所求解的稀疏性和分片常值特性，也可以用于被包含噪声异常值污染的处理数据情形。借助Banach空间中凸分析的工具，我们得到了正则解的收敛性。

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