与Catalan-like数相关的组合问题研究

Catalan-like numbers unify many well-known combinatorial sequences, including Catalan numbers, Motzkin numbers, Bell numbers and so on. Catalan-like numbers are closely related to recursive matrix and orthogonal polynomials. The project will be concerned with an important class of combinatorial sequences from the viewpoint of Catalan-like numbers, which contains:.1. We will study the Hankel transforms of both combinatorial sequences and polynomial sequences related to Catalan-like numbers by using the properties of recursive matrices and analysis. .2.We will observe the combinatorial properties of the sequences which belong to Catalan-like numbers. We will prove the conjecture about Bell numbers by using the properties of Catalan-like numbers. .3. We will study how to decide whether Apéry numbers belongs to Catalan-like numbers or not. And then we will consider the conjecture about Apéry numbers.

Catalan-like数包含了许多经典组合数列，在组合数学中起到重要的统一作用。此外，Catalan-like数建立了经典组合数列、递归矩阵以及经典分析之间的密切联系。因此Catalan-like数具有重要的研究价值。本项目将研究一些与Catalan-like数相关的组合问题，主要包括：.1.组合数列的Hankel转换。我们将运用递归矩阵和经典分析相结合的方法，研究与Catalan-like数相关的组合数列和多项式序列的Hankel转换。.2.Catalan-like数的组合性质研究。我们将利用Catalan-like数的性质，重点研究Engel关于Bell数相关数列凹性的猜想。.3.Catalan-like数的判定。我们将判定Apéry数是否为Catalan-like数，并进一步研究陈永川和Sokal分别关于Apéry数无穷对数凸性和Stieltjes moment性质的猜想。

Catalan-like数不仅在组合数学中起到了重要的统一作用而且是建立经典组合数列、递归矩阵以及经典分析之间的桥梁和纽带，因此与Catalan-like数相关的组合问题具有重要的研究价值。本项目主要借助强有力的矩阵工具并结合正交多项式与Hankel矩阵的联系给出了与Catalan-like数相关的组合序列以及多项式序列的Hankel转换。此外我们还研究了与Catalan-like数相关的Riordan矩阵的全正性，给出Riordan矩阵全正性的一个新的刻画。..在本项目的支持下我们还研究了多项式矩阵的Smith标准型，证明了三类超平面配置对应的Varchenko矩阵具有Smith标准型。此外我们还探讨了与偏序集相关的多面体上的组合问题，研究了序链多面体以及六边形偏序集的组合性质。..以上成果均已整理成科研论文，其中4篇已公开发表于国际期刊。

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