具退化或其它奇异性非线性扩散方程的定性理论

This project aims to investigate the qualitative theory of solutions for nonlinear diffusion equations with degeneracy and other singularities, including the following four aspects: Mixed type nonlinear diffusion equation, including the parabolic-elliptic mixed type equations from porous medium theory, and chemotaxis-Stokes or chemotaxis-Navier-Stokes coupled systems; forward and backward nonlinear diffusion equations, including those with variational structure or without variational structure; analysis on singularities for nonlinear diffusion equations; large scale dynamic equations for atmospheric science and oceanography. After establishing the existence, uniqueness and stability, we mainly investigate the properties of solutions, such as the isolated singularities and its analysis for singular structure, the evolutionary behaviour of long time, the asymptotic complexity of solutions and dynamical properties of solutions, etc. The investigation will both enrich and develop the mathematical theory, the approaches and techniques of partial differential equations, and provide high level analytic tools and important references for other subjects and practical problems.

本项目旨在研究具退化或其它奇异性非线性扩散方程的定性理论，主要包括以下四个方面的内容：混合型非线性扩散方程，包括来源于渗流理论的抛物-椭圆混合型方程，以及趋化与(Navier)-Stokes方程组的耦合系统；正倒向非线性扩散方程，包括具有变分结构和不具变分结构的方程；非线性扩散方程解的奇异性问题；具非线性热扩散大尺度大气海洋动力学方程组。在解的存在性、唯一性和稳定性的基础上，侧重于研究解的定性理论，如解的孤立奇点与相应的奇性结构分析，解的长时间演化方式，解的渐近复杂性以及解的动力学性质等。本项目的研究既能丰富和发展偏微分方程的数学理论、研究方法和研究技巧，又能为其它学科和实际问题的研究提供强有力的分析工具和重要的理论参考。

在本项目的实施过程中，我们按照研究计划开展了全面的研究，完成了研究目标，具体的研究成果包括以下几个方面：(1) 在伪抛物型方程解的定性理论方面针对最典型的方程，突破了已往关于初值的正性限制，克服了核函数所带来的复杂性，运用对初值正值的分布函数研究了Cauchy问题解的生命跨度问题，它包含了已知工作的所有结果和颇具新意的新内涵，结果给出的生命跨度确定方法几乎是不可改进的；(2) 在关于具真空（从而具有时间退化）的可压缩Navier-Stokes方程方面,证明了一维具真空情形，具热传导或不具热传导的，可压缩Navier-Stokes方程强解的整体适定性；对无热传导情形还证明了当真空出现在无穷远处，且初始密度具有缓慢衰减时候，对应可压缩Navier-Stokes方程的解在非齐次Sobolev空间存在，且熵是一致有界的；从而，发现了与具有紧致集初始密度完全不同的现象；(3) 在具渗流扩散的非线性模型解的定性问题方面，对于时滞退化扩散方程，我们揭示了线性扩散不具备的行波的半有限性和非光滑性，并利用变分方法发现了时滞对波速的减慢机制；对具对流的渗流型退化扩散耦合方程组，首次研究了对流占优的支集收缩现象；对移动环境中的退化扩散方程,我们证明在任意环境移动速度下强迫波的存在性，在移动环境占优的平衡点附近的加权能量估计得到了L1稳定性；(4) 在与肿瘤相关的扩散模型的理论研究方面，研究了解的奇异性，球对称解的存在性与稳定性，非球对称稳态解的存在性。在具扩散界面的两相流模型的理论研究方面，研究了整体经典解的存在唯一性，并讨论了解在有限时刻爆破的条件，证明了粘性系数可能会推迟爆破时间。

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