黎曼-芬斯勒几何中若干问题的研究

Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction. Methods developed by Finsler geometry are effectively applied to the fields of probing theoretical physics, mathematical biology and information science, etc. (α,β)-metrics is one of important classes of Finsler metrics. This research program focuses on curvature properties of Finsler manifolds and related problems. We will characterize or classify (positive) complete metrics of scalar curvature, hit off the properties of metric spaces, which are of constant flag curvature. In Finsler spaces, Einstein metrics are distinguished from Ricci constant ones. We obtain the characteristic conditions of Einstein metrics. We will catalogue and describe complete Einstein metrics; circumstantiate some rigidity theorems of Einstein metrics; make sure whether or not there exist three dimensional non-Riemannian Einstein metrics; carry Shiing-shen Chern's conjecture a step forward. Then, we will break the projective vector fields of Finsler manifolds; tap the relationship between projective algebra of (α,β)-metrics and that of related Riemann metric; integrally depict projective vector fields of Einstein (α,β)- metrics of constant flag curvature and study on the related projective problems of Finsler metrics.

芬斯勒几何是在其度量上无二次型限制的黎曼几何。由芬斯勒几何发展起来的几何方法对于探索理论物理、生物数学和信息科学等其他领域提出的问题相当有效。(α,β)-度量是芬斯勒度量中重要的一类度量。本项目着重研究黎曼-芬斯勒几何的曲率性质及其相关问题。对具有数量旗曲率的(正)完备度量进行刻画或分类；全面刻画常旗曲率度量空间。给出流形上完备爱因斯坦度量的归类及刻画；证明爱因斯坦度量的一些刚性结果；弄清楚是否存在三维非黎曼的爱因斯坦度量；推进陈省身猜测的研究。在此基础之上，我们将探讨芬斯勒度量的射影向量场；挖掘(α,β)-度量的射影代数与相关的黎曼度量的射影代数之间的关系；并给出具有常数旗曲率或爱因斯坦度量的(α,β)-度量的射影向量场的完整刻画；研究芬斯勒度量之间的射影相关问题。

微分几何可以应用在图像处理方面。研究了图像处理问题，提出了一种快速、稳定的算法，更好地解决了图像匹配问题。..复芬斯勒几何是几何研究中的一项重要组成部分。证明了强拟凸酉不变的复芬斯勒度量是一个复 Landsberg度量的充要条件是此度量是一个酉不变的Hermitian 度量。.此外，还研究了由两个强拟凸复芬斯勒流形构造的积流形。刻画了其为Kähler芬斯勒、弱Kähler 芬斯勒, 复 Berwald, 弱复Berwald, 复 Landsberg流形的充要条件。并证明了如果流形(M_1, F_1) and (M_2, F_2)是射影平坦的，那么此积流形是射影平坦的充要条件是f_1 和 f_2均是正常数。.在此基础上，研究了双扭曲积Hermnitian流形。建立了双扭曲积Hermitian 流形上的曲率（如陈曲率，陈Ricci 曲率和陈Ricci数量曲率)与两个分量流形上的相应曲率之间的关系；给出了紧致非平凡的双扭曲积Hermitian 流形具有常全纯截面曲率的充要条件；研究了满足第一或第二爱因斯坦条件的双扭曲积Hermitian 流形；给出了一种构造满足第一或第二爱因斯坦条件的Hermitian 流形的新的有效方法。..流形上的分析是整体几何的重要组成部分。研究了闭流形上的一类非线性方程。考察了闭流形上的一类广义的k-Yamabe问题。研究一类σ_k-类型方程：σ_k(λ_{st}) = 常数, 其中λ_{st} 是对称张量sRic − tR g的特征值，σ_k是 k−th 基本对称多项式。证明了如果sRic−tRg在凸锥Γ^+_k 里（其中2t > s > 0），那么这个方程在共形类下是可解的。

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