覆盖类与正向极限

The main object of this project is to study the closure of a covering class under direct limits, and the relationship between the Gorenstein projective module and the Gorenstein flat module in Gorenstein homological algebra. First, we intend to study the algebraic properties of a directed system and the direct limit, and their set-theoretic properties related to the indexed set. We will explore the connection between these properties, and seek to solve the problem of the closure of a perfect cotorsion pair. Secondly, we will take set theory and set-theoretical homological algebra as tools to construct the tree module and tree module short exact sequence. Furthermore, we wil prove that the closure under direct limits of a cover class is equivalent to the closure under tree modules, and that the cover class is closed under the forming tree module. Finally, using the established methods and combining with the Gorenstein homology theory, we will discuss whether the Gorenstein projective modules are Gorenstein flat modules and compare their homology properties. The research of this project is of great significance for the improvement and development of the basic theory of relative homological algebra.

本文主要研究覆盖类对正向极限的封闭性，以及Gorenstein同调代数中Gorenstein投射模与Gorenstein平坦模之间的关系。首先，我们拟研究模范畴中正向系统，正向极限的代数性质以及与它们的指标集相关的集合性质，探讨这些性质之间的联系，以寻求解决完全余挠对封闭性问题的方法。 其次，以集合论、集论同调代数为工具，构造树模及树模的短正合列，论证覆盖类对正向极限的封闭性等价于对树模的封闭性，并证明覆盖类对树模封闭。 最后，利用已经建立的方法，结合Gorenstein同调理论，讨论Gorenstein投射模是否是Gorenstein平坦模，并比较它们的同调性质。本项目的研究对于完善和发展相对同调代数的基础理论具有重要意义。

逼近理论在环模理论的研究、相对同调理论的建立中起着重要作用。完全余挠对的封闭性问题，以及更一般情况下，覆盖类是否对正向极限封闭的问题，是相对同调代数领域的基本问题。Gorenstein 同调代数中，判定给定的 Gorenstein 模类分解的存在性，是建立 Gorenstein 同调的前提，是目前Gorenstein 同调代数的研究重点之一。本项目将对上述问题展开深入的研究，这是相对同调代数理论的重要专题，对于进一步发展和丰富同调理论具有重要意义。本项目主要研究的问题如下：（i）对Enochs猜想的研究：是否任意覆盖类都对正向极限封闭？特别地，完全余挠对是否是封闭的？（ii）研究 Gorenstein投射模与 Gorenstein 平坦模之间的关系，以及它们的同调性质。到目前为止，我们得到以下研究结果：（i）覆盖类对可数的正向极限封闭；（ii）对介于Gorenstein投射模与 Gorenstein 平坦模之间的投射余分解Gorenstein 平坦模的性质进行了研究，在一定条件下，这类模是可数性型的，并得到了反向极限关于Mittag-Leffler条件的一系列性质；（iii）对Gorenstein 平坦特征模进行了刻画，研究了在凝聚环上Gorenstein 平坦特征模与Gorenstein 内射模的关系；并且给出了Gorenstein 内射模与具有有限的自有限表现内射维数的凝聚环之间的关系。

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