群在算子代数上作用的熵理论

The entropy is an important notion in the classic ergodic theory. Recently, Bowen, Kerr and Hanfen Li introduced notions of entropy for measure-preserving actions and continuous actions of sofic groups on standard probability spaces and compact metrizable spaces. In this proposed research, we will study their noncommutative versions for the automorphic actions of countable discrete infinite groups on operator algebras. Using the approximation theories of completely positive linear maps and finite abelian models, as well as the properties of sofic groups, we will introduce the notions of measure entropy and topological entropy for the actions of sofic groups on C*-algebras and von Neumann algebras, establish the variational principle for the actions of amenable groups, and calculate the entropy of the noncommutative Bernoulli actions of sofic groups by which we can classify these actions up to conjugate isomorphism. In addition, we will use the theory of Fuledge-Kadison determinants in von Neumann algebras to study the entropy for principal algebraic actions of a sofic group. Compared with the study of the classic sofic entropy,our research methods and tools will embody the "noncommutative" ideas in the theory of operator algebras. All these results obtained in the research will play an important role in the classifications of operator algebras and actions of groups on them.

经典遍历理论中的群作用可以为算子代数上的群自同构作用提供一个交换模型，所以人们也总期望可以将遍历理论中有关群作用的研究成果"非交换化"并应用于算子代数群作用的研究。本项目将综合运用遍历理论中sofic熵的最新研究成果，借助于算子代数中的完全正线性映射和有限交换模型的逼近理论，引入顺从群和更一般的sofic 群在算子代数上自同构作用的测度熵和拓扑熵，建立顺从群作用的变分原理并利用von Neumann 代数中的Fuledge-Kadison 行列式理论研究sofic 群的一致代数作用的熵。同经典sofic熵的研究相比，本项目的研究方法和研究工具都将体现算子代数理论中的"非交换"思想。非交换熵理论的引入将为进一步研究算子代数及其群作用的共轭同构分类奠定基础。

本项目按照计划开展工作，研究了可数群在拓扑和概率测度空间以及在算子代数上的作用，在顺从群作用的熵理论、粗Baum-Connes猜测和算子代数的结构、分类和上同群理论等方面取得了一系列成果。借助于群作用度量空间上的粗嵌入理论，本项目证明了可等变嵌入到Hilbert空间内的离散度量空间上的等变粗Baum-Connes猜测，此为该猜测的最新研究成果。探究了整数加群在零维双曲动力系统上的一类算子代数上作用的拓扑熵和逼近熵，得到了此类算子代数系统关于这两类熵的非交换化的“变分原理”。引入了速降广群理论，研究了广群C*-代数的光滑结构，并在相应光滑子代数上构造了一个起着n-迹作用的典则映射，从而Connes的基本配对定理为该类算子代数提供了一个K-同调不变量；针对SFT和Solenoids两类不同的动力系统，找出了具体的光滑子代数。借助于隶属有限von Neumann代数的无界算子理论，揭示了双三角格代数的结构和KS-性质，计算了此自反代数的一阶上同调群，该问题的探究方法为非自伴算子代数的研究提供了新思路。在算子代数分类问题方面，本项目得到了AF-代数在稳定Cuntz代数下的酉扩张同构类的一个完全刻画，给出了弱酉等价的酉扩张的基点六项正合列合同的一个充要条件。对于可数群的射影酉表示，本项目研究了相应von Neumann代数的结构和对偶理论，证明了当射影酉表示的Bessel向量集稠于表示空间时，由解析算子和Bessel向量集定义的循环投影在射影酉表示和左正则表示von Neumann代数中的等价和子等价关系是一致的。在群作用度量空间上引入了群不变逼近性质，此可以看作是群的平移不变逼近性质的推广，证明了fine双曲图具有此逼近性质。与此同时，本项目还在算子代数的双重导子和Haagerup性质等方面取得了一些成果，如给出了可数群作用下的C*-代数交叉积具有Haagerup性质的充要条件。

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