时滞偏微分方程新的高性能数值算法研究

As finite time blow-up of the solutions is an important property of nonlinear partial differential equations (PDEs), it is very significant to reproduce this phenomena numerically. This subject is devoted to the theoretical analysis of blow-up solutions for three kinds of delay nonlinear partial differential equations. Using adaptive grid generating techniques, numerical integral formulas for fractional derivatives and interpolation methods for delay terms proposed in numerical approximation of delay differential equations (DDEs), efficient adaptive grid methods for the simulations of their blow-up solutions are developed, and theoretical results of numerical bolw up solutions are given. Numerical methods preserving asymptotic stability of continuous problem have many merits in terms of excellent stability and simulation capability for a long time. In this study, numerical methods preserving stability as well as numerical theorem will be estabilished for some delay PDEs. Alternating direction implicit (ADI) methods preserving stability and numerical analysis are studied for these delay PDEs in high-dimension as well. Methods of characteristics are a kind of high-performance algorithms for convection diffusion equations (CDEs), which can supress nonphysical oscillation. Also, this subject focuses on highly accurate methods of characteristics for delay CDEs constructed using characteristic-line techniques, compact difference methods and interpolation methods. Meanwhile, fast iterative methods are designed for the solution of the fully discrete schemes, reducing computational cost. Finally, numerical sduties stated above are extended creatively to the cases including proportional delay, variable delay, many variable delays, and so on.

解在有限的时间内爆破是非线性偏微分方程的一类重要性质，因而对爆破解的数值模拟显得尤为重要。本项目拟对三类非线性时滞偏微分方程开展爆破解的理论研究。运用自适应网格生成技术，结合分数阶导数数值积分公式和时滞微分方程逼近时滞项的插值技巧，发展模拟这些方程爆破解的自适应网格方法，并研究数值爆破理论。保持连续问题渐近稳定性的数值方法具有优异的数值稳定性和精确的长时间模拟能力。本项目拟研究几类线性时滞偏微分方程保稳定的数值方法及其理论，以及在高维情形时保稳定的交替方向隐式 (ADI) 法及其理论。特征线方法能有效地抑制非物理震荡，是求解对流扩散方程的一类高效算法。本项目引入特征线技巧，运用紧致差分法、A-稳定的 Runge-Kutta 方法和插值技巧， 建立非线性时滞对流扩散方程的高精度特征线法，并设计全离散格式的快速迭代算法，以节省计算成本。本项目将上述研究推广到比例延迟、(多) 变延迟等情形。

偏泛函微分方程在自动控制，人口学，细胞生物学，电磁学、微观介质中热量的传播和流体力学等领域里应用十分广泛，是一类非常重要的发展方程。因此，从理论和数值两方面对这类方程进行深入研究是十分必要的。在理论方面，人取得了许多重要成果。然而，在数值方面，人们关注很少，获得的成果不多。本项目以几类非线性偏泛函微分方程为例研究这类方程新的高性能数值解法。.解在有限的时间内爆破是非线性偏微分方程的一类重要性质，因而对爆破解的数值模拟显得尤为重要。本项目已对三类非线性时滞偏微分方程开展爆破解的理论研究。运用自适应网格生成技术，结合分数阶导数数值积分公式和时滞微分方程逼近时滞项的插值技巧，完成了模拟这些方程爆破解的自适应网格方法和数值爆破理论的建立。 保持连续问题渐近稳定性的数值方法具有优异的数值稳定性和精确的长时间模拟能力。 本项目完成了几类线性时滞偏微分方程保稳定的数值方法及其理论的建立， 设计了在高维情形时保稳定交替方向隐式 (ADI) 法及其理论。将 ADI 紧致差分法与 Richardson 法结合，对常系数和变系数非线性延迟反应扩散方程，以及非线性粘性波动方程提出了时空方向均有四阶精度的数值算法。在非限制性网格上，对非线性延迟和不带延迟的 Sobolev 方程建立了多层的 ADI 紧致差分法与理论。对变系数时间分数阶抛物方程发展了高阶精度的紧致差分格式与理论。对一般形式的时滞 Volterra 型积分方程建立了高精度配置方法，获得了超收敛数值结果，并给出了一些有意义的理论结果。运用拉格朗日插值公式近似延迟项，对非线性时滞对流扩散方程建立特征差分法。这些算法能有效地抑制非物理震荡，对问题进行长时间计算, 并设计了快速迭代算法，节省了成本。同时，将上述研究推广到比例延迟、(多) 变延迟等情形。.此外，对非线性 Navier–Stokes-Darcy 耦合方程组 Beavers-Joseph-Saffman 界面问题， 提出了一类两重网格有限元法及其理论。运用解析方法求出高维非线性 KDV 方程部分特殊的精确解 。

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