丢番图m元数组猜想的研究

The extensibility of Diophantine m tuples is an old classical problem in Number Theory. Diophantus, Fermat, Euler, Baker, etc. are interested in this problem. It is known that every Diophantine triple can be extend to a Diophantine quadruple. But non Diophantine quintuple be found. A folklore conjecture is that there does not exist a Diophantine quintuple. In 2004, Dujela proved that if the bigest integer in a Diophantine quadruple is sufficiently large, then the conjecture is true. We were obtianed some results in this conjecture and related questions. For example, we solved a problem in D(-1) conjecture. In this project, we will use Baker's method and Diophantine approximation, study the extensibility of Diophantine m tuples. Innovative points of this research mainly include: (1) We will sharp bound of Diophantine quintuples.（2）We will hard work to complete solve Diophantine m tuples Conjecture. (3)Moreover ,we will researh some generalized problem with high degree and corresponding problem in algebraic integer rings.

丢番图m元数组的可扩张性问题是一个历史悠久的数论问题. Diophantus, Fermat, Euler, Baker 等人对其进行过研究. 目前已知任意的丢番图3元组均可扩张为4元， 而人们猜测丢番图5元数组不存在.2004年, Dujella 证明了最大元素充分大的丢番图4元数组均不能扩张成5元.在该问题及相关问题的研究中，申请人已有部分成果，如解决了由Dujella提出的D(-1)猜想中的一类情形.本项目拟通过Baker方法和丢番图逼近方法，研究丢番图m元数组的扩张性.研究内容的主要创新点为：（1）改进该问题目前的最佳上界.（2）力争解决丢番图m元数组的猜想.（3）研究高次和代数整环中的对应问题.

由m个正整数构成的集合称为丢番图m元数组(简称丢番图数组), 如果任意两个正整 数的积与1的和都是完全平方数. 从Euler给出的一个公式可知，存在无穷多个丢番图4元 数组. 但是从来没有找到丢番图5元数组. 人们提出猜想:丢番图5元数组不存在. 自200 4年Dujella证明了至多仅有有限个丢番图5元数组以来，各国学者不断削减5元数组个数 的上界. 已有方法在2004-2016年作出了极大努力，削减到了10^26. 我们在多个方面对方法进行了创新, 比如精细化Baker方法的应用, 由丢番图3元组之间定义的算子及其分 类, 以及对Euler组的同余式获得的新的结论，将机器验证的时间控制在了1天以内. 我 们于2016年底证明了:不存在丢番图5元数组..《数学辞海》中“数学名题与猜想”下词条“丢番图问题”中指出, 这是"一类特殊 数组的著名难题"; 维基百科词条“Diophantine quintuples”中指出, 该猜想是数论中 最古老的未解决问题之一. 该猜想已经有若干推广和扩展，相关论文近400篇. 我们解决 了最原始的基本问题.

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