李理论及其应用

In this proposal, we work on several problems on algebras and superalgebras which naturally accur in mathematical physics. The main problems we are concerned with are: (1) Category O and parabolic category O of Lie superalgebras, including Kazhdan-Lusztig theory, Jantzen filtrations of (parabolic) Verma modules, character and dimension formulae for irreducible modules and deformed category O theory; (2) positive energy representations, namely, unitary highest weight representations of affine Lie superalgebras; (3) quantum groups, quantized Yangians, super-Yangians; (4) inveriant theory, theory of (super)symmetry, higher super Schur-Weyl duality; (5) Koszul duality of category O of Lie superalgebras.

本项目研究数学物理中自然出现的一些代数与超代数以及它们的表示理论。主要研究内容在以下几个方面：(1) 李超代数的范畴 O 及 parabolic 范畴 O，包括 Kazhdan-Lusztig 理论、(parabolic) Verma 模的 Jantzen 滤过、不可约模的特征标与维数公式以及 deformed 范畴 O 理论；(2) 仿射李超代数的正能量表示，即可积最高权表示；(3) 量子群、量子 Yangians 以及超 Yangians；(4) 不变量理论，（超）对称性理论，高阶超 Schur-Weyl 对偶；(5) 李超代数的范畴 O 的 Koszul 对偶性。

本项目主要研究了例外型和Q型李超代数的特征标公式、Jantzen 滤过；首次引进了仿射 walled Brauer（超）代数并建立了仿射 walled Brauer （超）代数与一般线性李超代数（Q-型李超代数）之间的 super Schur-Weyl 对偶，确定和构造了Kac-模与自然表示的混合张量模的最高权向量；引进了例外型李超代数的 Jantzen 滤过；定义了李超代数新的上同调理论，即混合上同调；研究了与Virasoro共形代数密切相关的一些无限李共形代数的结构和表示；研究了导出范畴，三角函子；研究了可分单态射范畴的 Gorenstein 投射模, Frobenius子范畴以及RSS 等价性理论，tilting 模；研究了 Grothendieck 范畴的 Serre 子范畴，代数的特征映射，张量范畴与有限拟量子群；研究了限制 Poisson 代数与非交换 Poisson 代数的结构与上同调理论。

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