若干双曲-双曲耦合振动系统的稳定性问题

In the field of modern space technology, engineering machinery and other fields, many evolution processes can be modeled by hyperbolic-hyperbolic coupled vibrating systems. Because the stability of control design directly affects the safety, stability, quality and accuracy and others, and at the same time, with the progress of science and technology, the demand for precision is higher and higher, and the design of damping feedback control is also more precise. To this end, this project plans to study the stability of two classes of concrete hyperbolic-hyperbolic coupled vibrating systems and two types of abstract hyperbolic-hyperbolic coupled vibration systems. Each class of system contains damping feedback, which is added in the main equation or on the boundary, and the coupling way of the two hyperbolic equations is also different. We study the stability of the systems with different damping feedback designs, and find the stable type and the stable mechanism of each system. We use the distributed parameter control theory, the theory of partial differential equation and the nonlinear analysis theory to give the stability of two classes concrete hyperbolic-hyperbolic coupled vibrating systems and make some innovations in methods. We study the influence of different coupling modes and with different coupling strength (with different coupling parameters) on the stability of two classes abstract hyperbolic-hyperbolic coupled vibrating systems and have a breakthrough in the conclusion. We expect to enrich and develop the new ideas of the distributed parameter control theory, provide valuable scientific basis for engineering practice and open up new ways of using good vibration and control bad vibration.

在航天技术、工程机械等领域中，许多演化过程可用双曲-双曲耦合振动系统来建模。工程实际中建模系统的稳定性直接影响到安全稳定、质量精度等诸多方面。正是由于对控制精度要求越来越高，因此对双曲耦合振动系统的稳定性研究一直是控制领域中的研究热点。为此，本项目拟研究四类双曲-双曲耦合振动系统的稳定性问题。每一类系统都含有阻尼反馈，分布的位置不同，且两个双曲方程的耦合方式也不同，根据不同的阻尼反馈来研究相应系统的稳定性，找到稳定的类型以及稳定的原理机制是本项目的研究目标。对于两类具体双曲-双曲耦合振动系统的研究拟利用分布参数控制、偏微分方程和非线性分析等理论为工具，希望在方法上有所创新；对于抽象双曲-双曲耦合振动系统研究不同耦合方式以及不同强度耦合（耦合参数变化）对稳定性的影响，希望从结果上有所突破。可望所得研究成果丰富和发展分布参数控制理论，给工程实践提供有价值的科学依据，开辟控制和利用振动的新途径。

在工程机械、航天技术等领域中，许多演化过程可用双曲系统以及双曲耦合系统来建模，相关应用场景的建模系统的稳定性直接影响到质量精度和安全稳定等诸多方面，因此对双曲系统及双曲耦合系统的稳定性研究是控制领域研究热点。本课题以波方程系统、板方程系统、波波耦合系统、波板耦合系统等为研究对象，从不同方程类型、不同阻尼形式、不同阻尼施加的位置以及不同的方程耦合方式，等角度研究反馈对于系统稳定性的影响；探讨了动力学边界条件、声学边界条件以及移动边界对于稳定性的影响，找到了稳定的类型以及稳定的原理机制，实现了项目的研究目标。研究速度耦合的两个波方程的能量传输，给出了带有部分阻尼反馈的稳定性依赖于两个方程之间的能量的传输机理，说明了传输系统中隐含的正则性是影响稳定性的一个重要因素。研究具有公共交界面的两个区域上一个波与Euler–Bernoulli板耦合传输系统，其中Euler–Bernoulli板方程在除区域交界面外的边界上具有粘性阻尼和声学边界，系统在区域的交界面上进行能量传输，通过引入两个Volterra算子的逆算子来克服边界上粘性阻尼的显性出现，进而将原系统转换成一个等价系统。研究具有公共交界面的两个区域上的波方程的传输系统，其中一个波方程的边界带有历史记忆和声学边界条件，两个区域通过区域的交界面进行能量传输，当摩擦阻尼各自仅仅施加在区域交界面的一个局部邻域时，克服了观测性不等式的构造这个技术难点得到了系统的稳定性。研究具有时滞的变系数粘弹性板方程振动系统，其粘弹性阻尼和摩擦阻尼都是局部的，减弱了通常对粘弹性核函数的限制条件，且去掉了文献中关于摩擦阻尼在原点附近的增长性限制条件，得到了系统能量的显式的的一般化的衰减结果。相关结果丰富了分布参数控制的理论，可以给工程实践提供有价值的科学依据。

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