量子场论圈图振幅的数学结构及其计算应用

The precise experimental data and complicated scattering process in Large Hadron Collider increase dramatically the motivation of computing higher order perturbative correction of quantum field theory, while the fast development in the area of scattering amplitude in recent decade promises new possibility for the systematic and efficient computation of multi-loop amplitude. In this project, we intend to study the application of new computational techniques to the multi-loop amplitude expansion and loop integrand construction. We will use the generalized unitarity cut method and computational algebraic geometry method to systematically investigate the integral basis of all possible two loop amplitudes, with the result that could be used in the future complete computation of any two loop amplitudes. We will also investigate the various approaches toward the recursive construction of two loop integrand and survey their connections.

大型强子对撞机上精确的实验数据和复杂的散射过程对量子场论高阶微扰修正计算提出了更高的要求，而最近十来年散射振幅计算领域的快速发展为多圈图振幅的系统高效计算提供了可能性。在本项目中，我们希望研究振幅计算新方法在圈图振幅展开、圈图被积函数构造上的应用。我们将利用广义幺正切割方法、代数几何方法系统地研究所有可能的两圈图振幅展开基的主积分，为将来任意两圈图振幅的完整计算做准备。我们还将研究多种新方法在两圈图振幅被积函数递推构造上的应用以及它们之间的联系。

量子场论中的散射振幅是联系物理理论和实验数据的纽带，但是传统的费曼图振幅计算方法无法满足更高精度和更高难度的振幅计算需求，尤其是难以处理两圈及以上圈图振幅和引力振幅。因此，基于散射振幅的一般数学结构，许多建立于复变函数、代数几何等数学理论的新计算方法得以提出，其中一些发展成为了很有潜力的理论分析和计算工具。本课题是探索性研究项目，主要利用最近十几年来发展的振幅新计算方法，包括代数几何方法、幺正切割方法、规范对称性等，研究圈图振幅、引力振幅的内部数学结构、性质和计算。..本课题的开展集中在引力振幅的探索计算和圈图振幅发散性质两个方面。在引力振幅方面，我们在爱因斯坦-杨-米尔斯理论框架中考察了引力子和胶子散射振幅（EYM振幅）的性质，着重于将引力振幅展开为纯胶子振幅的线性叠加。在已有的EYM振幅展开的一些经验公式基础上，我们深入研究了引力振幅展开的数学结构，构建了展开基矢量空间和规范不变矢量子空间，提出EYM振幅展开基完备且线性独立的系统构造方法。同时为了计算展开系数，我们借助规范不变性、向量图和微分算符方法，基于层层迭代的理念，为展开系数的计算设计了系统性的算法，并且在计算软件上编写了半自动计算程序。这些结果使得EYM散射振幅的研究系统化和半自动化，方便以后对纯引力和更复杂引力理论振幅的分析计算。..在圈图振幅发散性质方面，我们在圈图计算中发现了紫外发散和红外发散之间可能隐藏有趣的关系，猜想紫外发散可以通过一般关系直接从红外发散中读取。为了发现一般关系的具体形式、证实猜想，我们尝试用费曼图方法和幺正切割方法分别计算一些完整圈图振幅例子的红外共线发散、紫外发散，通过比较两者结果获得适用于普遍振幅发散行为的一般关系。此关系的提出和证实将为紫外发散提供更有效的新计算方式。由于圈图振幅计算的复杂性，兼之需要计算大量例子，还需要后续更多的计算研究以验证猜想。

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