神经元电缆模型的动力学分析及其应用

This is a project on dynamics of neural dynamical systems governed by the cable equation in neurobiology, which can also help to explain the underlying mechanism in neural information processing. Neural cable equation is a nonlinear partial differential equation. First, we study comprehensively the existence and the dynamical behaviors of solutions to the nonlinear cable equations with different boundary conditions arising in neuroscience. The leading idea has been to explain in which circumstances the solutions of the reaction-diffusion equations can exhibit interesting patterns. For the sake of the nonlinear term and space variable, we need new numerical methods and analytical techniques to construct asymptotic solutions, and study the dynamics of the neural system. Furthermore, based on our theoretical study, we construct more accurate energy functionals to reveal the underlying mechanism of dendritic filtering of synaptic inputs, and the energy efficiency of action potential propagating along the neural axons. This project is cross-disciplinary, including nonlinear dynamics and neuroscience, which is not only of great value to study the dynamics of the reaction-diffusion equations, but also plays an important role in understanding the neurophysiological mechanism of neural information processing.

目前，有关神经动力系统的研究中，所考虑的系统大多由常微分方程组所描述，而对于由偏微分方程组所描述的神经动力系统的研究还很匮乏。本项目拟研究由神经元电缆方程所描述的神经动力系统的动力学问题，进而揭示神经元信息处理的高效节能机制。神经元电缆方程是一类复杂的非线性偏微分方程。本项目首先系统地研究具有不同边界条件的神经元电缆方程解的存在性，这些边界条件均具有不同的生物学意义。由于非线性项和空间变量的影响，需要发展新的数值方法用于构造神经元电缆方程的近似解，进而探讨解的动力学特性。然后，基于神经元电缆方程的动力学分析，推导出更加精确的神经元能量函数。进一步利用神经元能量函数，研究神经元信息处理过程中所遵从的能量最优化原则。该项目是非线性动力学和神经科学的交叉领域，研究结果不仅可以丰富非线性电缆方程的动力学理论，而且对研究神经元信息处理的生物物理学机制起重要的推动作用。

围绕与神经元电缆模型相关的动力学问题，本项目发展了非线性耗散系统的稳定性分析方法，探究了不同耗散边界条件对于非线性系统响应和稳定性的影响，并将此方法应用到其他典型系统的动力学研究。主要研究内容如下：.一、研究了内部时变摩擦阻尼对非线性波动系统Lyapunov稳定性的影响规律。利用辅助能量泛函的方法证明了当时间趋于无穷大时，证明了具有内部时变摩擦阻尼的非线性波动系统整体解收敛到系统的平衡态，收敛速率取决于阻尼的时变系数以及Lojasiewicz-Simon指数；.二、研究了具有边界时变非线性阻尼的齐次波动方程适定性问题。利用Galerkin方法，证明了系统整体解的存在唯一性，基于具有特殊权函数的积分不等式，证明了系统状态随时间演化收敛至系统的零平衡态，收敛速率取决于阻尼系数；.三、列维噪声激励下非线性快慢变系统的中心极限定理。基于快慢系统的平均原理，定义了列维噪声激励下快慢变系统的标准偏差，利用截断技巧，证明了系统的偏差弱收敛到某一类高斯过程，即列维噪声激励下非线性快慢变系统满足中心极限定理；.四、研究了高斯噪声激励下波动系统的强混合性。首先将波动系统表示成抽象发展方程，利用算子半群的方法得到系统的适定性，再通过系统的精确能空性，证明系统不变测度的存在唯一性以及强混合性。

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