映射空间的同伦论

Mapping space is one of the fundamental objects in the study of geometry and topology, the homotopy theory of which is to characterize the global properties of mapping space. In general, mapping spaces are extremely complicated. We will study the properties of several important types of mapping spaces and their applications:.1. To study the mapping degrees between manifolds via the study the zero homotopy of mapping spaces. The problem of mapping degrees between manifolds is a classical problem in manifold topology. Based on its topological nature, we will try to use the tools in homotopy theory to investigate the mapping degrees problem more directly;.2. The problem about the homotopy invariance of configuration spaces. There are many important applications of configuration spaces in geometry, physics, engineering and other fields. The homotopy invariance of configuration spaces is a longstanding open problem. We will study its obstruction theory from the point of view of moduli spaces in algebraic topology;.3. To study the homotopy theory of gauge groups. Gauge groups are important objects in the study of geometry and topology. In this new century, there is much progress on the study of the homotopy of gauge groups. We will study the stable classifications of gauge groups of principle bundles on some classical manifolds.

映射空间是几何与拓扑学的基本研究对象之一；映射空间的同伦理论是对映射空间的整体性质的刻画。一般而言，映射空间是极为复杂的。我们将研究几类重要的映射空间的性质及其应用：.1. 通过研究映射空间的零阶同伦来研究流形的映射度问题。流形的映射度问题是流形拓扑中的经典问题。基于映射度的拓扑本性，我们试图运用同伦论的工具来更直接地探讨映射度问题；.2. 构型空间的同伦不变性问题。构型空间在几何、物理及工程等领域有着重要的应用，其同伦不变性问题是一个长期悬而未决的问题。我们将从代数拓扑中的模空间观点来探讨其障碍理论；.3. 研究规范群的同伦理论。规范群是几何与拓扑的重要研究对象。新世纪以来，规范群的同伦研究取得了丰硕的成果。我们将研究一些经典流形上主丛的规范群的稳定分类。

同伦论是代数拓扑的核心内容，映射空间是同伦论的中心对象。在本项目中，我们研究了映射空间的不同方面并获得了丰富的成果。..1）研究了规范群的同伦。规范群在数学物理及几何与拓扑中发挥着本质的作用。比如，Donaldson运用规范理论研究了四维流形的光滑结构，其是上个世纪拓扑领域的主要成就之一。我们研究了高维流形规范群的同伦。特别地，我们证明了规范群的回路空间的同伦分解；这是最早研究一般流形的规范群同伦的结果之一。..2）研究了同伦群的增长。同伦群是同伦论的基本概念，是特定映射空间的连通分支的集合。我们研究了同伦群的渐进性质。特别地，我们证明在奇素数下Moore空间的局部同伦群按指数增长。该结论为同伦群的高度复杂性提供了进一步的依据。..3）运用组合方法研究了同伦指数。同伦指数是同伦群的一个关键整体不变量，然而，它的计算是极其困难的。目前，相关的知识仍知之甚少。我们系统地发展了Cohen于90年代提出的组合方法，其专门用来研究同伦指数问题。特别地，该方法为解决包括Barratt猜想在内的相关困难问题提供了潜在工具。

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