带有源项双曲守恒律系统的保平衡性质高精度杂交格式及其应用

The hyperbolic conservation systems with source terms, also called hyperbolic balanced laws, are important for many practical engineering and physics problems, it is always one of the hot issues to simulate this type of equations with high order numerical methods. In the real flow filed, there may be include multi-scale smooth structures, shock waves, contact waves, and at the same time, the numerical schemes should be satisfy the balanced laws. Therefore, it is very difficult to construct the high order, high resolution, high efficiency and well-balanced numerical schemes for the hyperbolic balanced laws. Based on the weighted compact nonlinear (WCN) schemes, this subject combine the spectral-like compact interpolation to construct the high order hybrid WCN (HWCN) scheme, and we also construct the well-balanced HWCN scheme use the source splitting techniques and the methods of reconstruct of the numerical flux in the high order well-balanced finite volume WENO schemes. This study overcome the difficult of satisfy the properties of high order, high resolution, high efficiency and well-balanced for the original high order schemes. The well-balanced property of these new HWCN schemes well be proofed and numerical investigated. In the end, the new constructed high order schemes will be extended to the application of practical engineering problems.

带有源项的双曲守恒律系统，也称为双曲平衡律方程，在很多实际的工程物理问题中有重要的应用，高精度地数值模拟这类方程一直是高精度数值方法研究领域的热点问题之一。由于实际问题中的流场可能同时包含各种尺度光滑波、激波、接触间断等复杂结构，同时，对于双曲平衡律方程，其稳态解满足平衡性条件。因此，构造求解这类方程的高精度、高分辨率和高效率的数值格式，同时还要求数值格式满足平衡律条件十分困难。本课题以加权紧致非线性（WCN）格式为基础，结合数值性质优越的紧致插值方法，构造高精度杂交型的WCN格式（HWCN），采用源项分裂技术和高精度有限体积保平衡型WENO格式中的数值通量重构方法，构造保平衡型的高精度HWCN格式，解决一般高精度格式无法同时满足高精度、高分辨率、高效率和保平衡性质的困难。理论和数值证明所构造的高精度杂交格式的保平衡性质，并将其推广到实际工程问题的应用中。

带有源项的双曲守恒律方程在一定条件下存在某种形式的平衡解状态，在高精度数值模拟时，如何保持数值格式在平衡解处的收敛性，即设计保平衡型数值格式十分重要。项目组分别基于守恒变量插值重构的WCN格式和基于通量插值重构的WCN格式，结合紧致差分格式和径向基函数（RBF）间断检测算法，开发了求解双曲守恒律方程的两种五阶精度WCN杂交（HWCN）格式。采用统计学中的标准差方法，结合经典的间断检测算法，设计了一类精准高效、无人工参数的间断检测方法，克服了经典间断检测算法中存在经验参数的缺点。提出了一类包含WCN格式在内的插值重构型高精度加权本质无振荡（WENO）格式的统一形式，结合不同的数值通量求解器，在统一形式下构造了浅水波方程的五阶精度保平衡型数值格式，理论上证明了格式的保平衡性质。通过修正WENO算子中的敏感参数，提出了一种简单的构造保平衡格式的方法，针对带有重力场源项的Euler方程构造出分别基于重构型和插值型两种形式的保平衡WENO格式；将该方法推广至有限体积保平衡型WENO格式的构造中，解决了前人文献中有限体积保平衡型WENO格式的平衡性依赖敏感参数的问题。将静水压重构方法推广至有限差分保平衡格式的构造中，通过选择任意单调的数值通量求解器，改进格式的数值性质；结合静水压重构方法设计了浅水波方程的保正限制器，提升了数值格式的鲁棒性。设计了具有尺度不变性的多分辨率WENO（MR-WENO）算子，构造了双曲守恒律方程的多分辨率Alternative WENO（MR-AWENO）格式，进一步构造了求解带有重力场源项Euler方程的保平衡型MR-AWENO格式。采用五阶精度AWENO格式，对原始变量进行插值重构，对多组分流模型中的五方程模型进行了数值模拟，在理想和刚性状态方程条件下，理论证明了数值格式在多组分界面处保证速度和压力平衡的性质；对模型中可能出现的低密度、低压强等极端情况，设计了保正限制器，确保密度和压力在计算过程中始终为正值。

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