微分同胚沿着不稳定叶层熵的连续性研究

Topological entropy and metric entropy are important invariants of dynamical systems. Topological entropy measures the whole complexity of orbits of dynamical system, while the metric entropy measures the average complexity of orbits with respect to an invariant measure. The complexity of smooth system is mainly determined by the unstable direction. For a C^1 diffeomorphism, coupled with the condition of dominated splitting, the unstable foliation can be layered. Furthermore, we can research the entropy and its dynamic behavior along each layer of unstable foliation precisely...This project involves two aspects. (1) We want to address the problem of continuity of the metric entropy along each layer of unstable foliation with respect to the invariant measure for a C^1 diffeomorphism with dominated splitting. (2) We also want to investigate the problem of the topological entropy along each layer of unstable foliation with respect to the diffeomorphism in C^1 topology for a C^1 diffeomorphism with dominated splitting.

拓扑熵以及测度熵都是动力系统中重要的不变量。拓扑熵刻画的是系统轨道结构的复杂性，而测度熵度量的是系统关于一个不变测度的轨道平均复杂性。对于光滑系统而言，系统的复杂性主要由不稳定方向决定。对于C^1微分同胚，如果再加上控制分解这一条件，就可对不稳定叶层进行分层，更加精细地研究沿着每一层不稳定叶层的熵及其动力性态。..本项目的主要研究内容包括：（1）对于具有控制分解的C^1微分同胚研究沿着不同层次不稳定叶层测度熵关于不变测度的连续性问题。（2）对于具有控制分解的C^1微分同胚研究沿着不同层次不稳定叶层拓扑熵关于C^1拓扑中的微分同胚的连续性问题。

拓扑熵和测度熵都是动力系统中重要的不变量。拓扑熵刻画的是系统轨道结构的复杂性，而测度熵度量的是系统关于一个不变测度的轨道平均复杂性。对于光滑系统而言，系统的复杂性主要由不稳定方向决定。对于C^1微分同胚，如果再加上控制分解这一条件，就可对不稳定叶层进行分层，更加精细地研究沿着每一层不稳定叶层的熵及其动力性态。按照研究计划，在项目执行的过程中，我们得到了如下结果：. 1.我们研究了非自治系统的原像分支t-熵和熵维数，并引入了一些原像分支t-熵为零的系统。. 2.我们研究了Z^k-作用（特别是光滑Z^k-作用）的跟踪性，并对具有跟踪性的子系统的特征进行刻画。结合两个重要的性质：“跟踪性”和“可扩性”，我们对Z^k-作用的“整体”动力学与“子系统”动力学之间的相互影响进行深入探讨。特别地，我们研究了Z^k-作用1-维子系统的跟踪性质。. 3.我们在满足局部积结构的条件下，得到部分双曲流沿着中心叶层滑动的拟跟踪性质。. 4.对于部分双曲自同态和随机部分双曲系统,我们引入并研究了不稳定测度熵、不稳定拓扑熵和不稳定压。对应地，分别得到了不稳定熵和不稳定压的变分原理。

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