分数阶Schrödinger方程的间断有限元方法以及超收敛分析

The fractional Schrödinger equation has injected new vitality to the field of quantum mechanics, and the important progress on the mathematical theory and application of physics has been achieved, however, the numerical algorithm started soon, and the research is less. The project is devoted to studying the discontinuous Galerkin methods for the time-fractional Schrödinger and space-fractional Schrödinger equation, and two main problems will be studied: first, the numerical approximation of fractional derivatives and the discontinuous Galerkin method for the time-fractional Schrödinger equation, and the superconvergence of the method. Second, we will present the conservation discontinuous Galerkin methods for the space-fractional Schrödinger equation, and choose the appropriate discrete scheme in time direction in order to keep the discrete mass and energy. The project aims at constructing and analyzing efficient and conservation algorithm for the fractional Schrödinger equation. Through theoretical analysis and numerical computation, revealing the advantages of the fractional Schrödinger equation in the description with dissipative effects and intrinsic stochastic properties of complex system.

分数阶Schrödinger方程的提出给量子力学的研究注入了新的活力,目前对该方程数学理论和物理应用的研究取得了重要进展,但其数值算法的研究起步不久,与整数阶Schrödinger方程相比成果还较少.本项目致力于研究时间分数阶Schrödinger方程和空间分数阶非线性Schrödinger方程的间断有限元方法,主要研究两个问题:第一,时间分数阶导数的数值逼近和时间分数阶非线性Schrödinger方程的高精度间断有限元方法及其超收敛性.第二,空间分数阶非线性Schrödinger方程的守恒型间断有限元方法,包括选择恰当的时间离散格式,使数值方法能够保持质量和能量守恒.本项目旨在构造和分析分数阶Schrödinger方程的高效稳定算法和守恒算法,通过理论分析和数值计算,揭示分数阶Schrödinger方程在描述具有耗散效应和和内在随机系统上的优势.

本项目对分数阶Schrödinger方程构造了稳定性好、收敛精度高的数值格式，通过项目组成员的共同努力，我们圆满完成了项目的预期目标。主要研究了三个方面的工作：(1)对时间分数阶Schrödinger方程，构造高精度的隐式全离散局部间断有限元方法，给出详尽的误差估计以及稳定性分析，并进行数值实验，利用所构造的数值格式对不同阶数的分数阶模型进行模拟对比，以研究解的形态。(2)对非局部耦合Schrödinger方程组，时间方向上用变步长的L1格式离散，空间方向用局部间断有限元方法离散，设计了高精度的隐式全离散数值格式，给出了稳定性和收敛性分析，数值结果和理论分析相吻合。(3)对二维非线性Schrödinger方程设计了混合有限元两层网格高效迭代算法，在粗网格上求解非线性问题，然后利用粗网格解得到一个线性问题并在细网格上求解，极大地提高了此类问题的计算效率。本项目资助的访问学者韦雷雷在访学期间，系统学习了分数阶微积分理论、算法构造等方面的知识，完成了访学的内容和目标，研究成果将有助于非线性科学研究的深入发展以及量子力学在工程技术中的应用。

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