随机参数动力系统不确定性量化的PDF/CDF方法框架及其高效算法设计

Uncertainty is ubiquitous in natural world and engineering systems, its quantification could provide efficient research direction and solutions to a number of practical problems in science and engineering fields. In recent years, research in uncertainty quantification has been in an ascending stage; but there are still many problems yet to be solved, e.g. computing the probability of rare events, approximation of dynamics systems with uncertain parameters of medium correlations or of non-Gaussian distributions. Despite great demand for uncertainty quantification in many science and engineering fields in China, such as aerospace engineering, nuclear security, big data and etc., fewer fundamental research on the theory and methodology have been conducted. To this end, this proposal aims to improve the theory and numerical implementation of uncertainty quantification, in particular, the PDF/CDF method, which has shown great development in recent years. We aim to investigate the three following areas: 1) prediction of Langevin systems with non-Gaussian colored noise (closure approximation); 2) numerical scheme to compute the mean solution of the random functional integral equation introduced by PDF/CDF method; 3) development of a numerical framework for the PDF equation. Our result could greatly improve the theory of uncertainty quantification and expand its application scope; it would also provide numerical frameworks/guidelines for future implementation in science and engineering problems.

不确定性广泛存在于自然世界和工程系统, 其量化研究可以为诸多科学与工程领域的实际问题提供有效解决方向和方法。近年来国际学界及工业界对于不确定性量化的研究已处于起步上升阶段，但仍有很多问题尚未解决，如小概率事件的预测、介观尺度或非高斯分布随机参数动力系统的近似等。当前我国科学与工程界，如航空、核安全及大数据等诸多领域对不确定性量化的需求日趋强烈，而国内在相关理论和方法上的基础研究却为数不多。为此，本项目将通过对以下三个问题的的重点研究, 对近年来发展迅速的PDF/CDF方法进行理论上的完善和数值算法上的实现：1）非高斯彩色噪音的朗之万动力系统状态预测(闭包近似)；2）PDF/CDF积分函数随机方程均值解的数值算法；3）PDF方程的数值算法框架。通过对三个问题的重点研究，进一步完善不确定量化的理论并拓展其应用范围，为其在科学工程问题中的具体实现提供切实可行的数值计算框架与指导原则。

本项目针对随机参数动力系统不确定性量化的PDF/CDF方法框架及其高效算法设计展开了研究，取得了三个重要研究成果，发表了6篇SCI期刊论文和1部学术专著，培养了7名博士与硕士研究生毕业。项目所获得的三个研究成果对不确定性量化学科研究起到了重要推进作用，也促进了不确定性量化与物理、材料、生物、能源等应用学科的交叉发展。本项目的核心成果是完善了PDF/CDF方法框架，为其数值实现提供了一个通用的高效算法，解决了不确定性量化研究中对含高维、高斯/非高斯分布随机变量的系统状态概率预测这一难点问题。项目组另一个重要成果是首次提出了系统不确定性的集成式量化框架，统一了当前参数不确定性和模型不确定性分开量化的研究模式，为今后全面性地预测、评估随机系统的状态概率奠定了量化基础。最后，以随机多孔材料降维框架这一交叉研究成果为代表，本项目通过与不同专业的国内外专家合作，为Web服务（软件）可靠性评估、大肠杆菌中丝状温度敏感蛋白（FtsZ）环合成与分裂过程的随机建模、材料体积模量精准高效计算和太阳能模型评估等多个应用科学领域中不确定问题的解决提供了量化工具。鉴于本项目对于不确定性量化方法的完善，相信上述成果在未来可以进一步推进不确定性量化与信息、电子电路、航空航天、药理、医学成像、地质环境、生态保护等其它应用科学与工程的深度融合，实现多学科的交叉性发展，最终为生产生活中诸多实际问题的解决提供可行方案。

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