Ricci流的奇点、共轭热方程和g(t)-布朗运动

Ricci流是关于黎曼度量的热类型方程，目的是得到流形上最对称的度量。它是几何拓扑的中心问题之一,研究成果斐然，包括证明了Poincaré和Thurston几何化猜想。Ricci流的奇点是研究Ricci流的关键问题之一。梯度孤立子是重要的奇点模型。经验证明，随机分析特别是布朗运动是研究几何发展方程的奇点的有效工具。最近，黎曼流形上的布朗运动被成功推广到演化度量下的g(t)-布朗运动。.本项目计划结合Ricci流与随机分析特别是g(t)-布朗运动，围绕Ricci流的奇点分析，探究相关概念的概率论原理。特别地，本项目关注Ricci流的梯度孤立子、Ricci流中的g(t)-布朗运动、Ricci流中共轭热方程的Harnack不等式与熵估计等。目标之一是得到梯度孤立子新的几何估计和分类结果；重点是系统、有效地应用随机分析研究Ricci流的相关问题，包括推广Harnack不等式和得到新的单调几何量等。

在本项目的资助下，我们的研究成果可以分为三大方面：熵、Harnack不等式和相关概率理论与应用。. 具体来说，一，在几何流中的熵公式研究中，与卢森堡大学的Anton Thalmaier教授和Robert Philipowski博士合作，我们得到了如下的结果：（1）对于一般的几何流，从共轭热方程正解的Boltzmann-Shannon 熵出发，建立Perelman的F与W熵。在一个技术性的假设下，熵的单调性成立；（2）在Ricci流中，建立了联系Hamilton的熵和Perelman的熵的一个公式；（3）在Gauss曲率流中，定义了一个新的熵公式。. 二、在几何流中的Harnack不等式研究中，我们得到了如下结果：（1）在一般的几何流中，证明了对共轭热方程所有正解都成立的一个Harnack不等式；（2）与康奈尔大学的曹晓冬教授等合作，在一般的几何流中，证明了对共轭热方程的基本解成立的一个Harnack不等式；（3）与大阪大学的Masashi Ishida教授合作，证明了几种一般情形下的Harnack不等式。. 三、几何流中的随机过程研究，与卢森堡大学的Thalmaier教授和Philipowski博士合作，我们得到如下的结果：（1）用随机分析的办法定义了流形上的一个新的熵公式，并且给出了在热方程古典解上的应用；（2）建立了几何流中的鞅过程的理论与应用；（3）用随机分析的方法研究几何流中的调和映照流。. 上述的每个结果，我们都有相应的论文与之对应，共完成9篇论文，正式（或接收）发表5篇，分别发表在Journal of Theoretical Probability, Comptes Rendus Mathematique（2篇）, Pacific Journal of Mathematics, Geometriae Dedicata等杂志上；投稿在审4篇。. 项目主持人受邀在法国普瓦捷大学、德国波恩大学、卢森堡大学、南京理工大学、首都师范大学、上海交通大学、中国科技大学等做过学术报告。正在培养硕士研究生2人。

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