随机泛函微分方程的适定性与渐近性分析

This project deals with the wellposedness and asymptotic analysis of stochastic functional differential equations (SFDE), including the existence- uniqueness, invariant sets, attractors, periodic solutions, robustness and stability. Based on our results on existence in L^2, we first develop existence-uniqueness of stochastic functional differential equations under the conditions in continuous functions space C. Then, some conditions on asymptotic behavior of the equations will be given by using the techniques on stochastic analysis and Markovian property of solutions of SFDE, establishing some L-operator inequalities and the properties on M-cone. For the stochastic systems with impulse or Markovian switching, we may obtain the required properties by adjusting the impulse or switching. For the semilinear stochastic partial functional differential equations, we also can get the conditions on the wellposedness and asymptotic analysis by the semigroup methods and overcoming the difficulty on their mild solutions without the martingale properties. The results obtained can be applied to stochastic ecosystem, networks and synchronization for chaotic systems.

本项目研究随机泛函微分方程的适定性与渐近性分析，包括解的存在与唯一性、不变性、稳定性、周期性、依赖于参数与初始数据的鲁棒性特征等。首先，在L^2空间Lipschitz条件下结果的基础上，进一步研究C空间的条件下随机泛函微分方程解的存在与唯一性。进而，针对随机噪声与时滞的不同类型，对其样本轨道进行分类处理，利用随机泛函微分方程解的Markov性质及随机分析的技巧，建立不同类型的时滞L-算子不等式，利用M-锥的性质，给出其解各种渐近性的条件。对具有脉冲或Markovian switching扰动的随机泛函微分系统，调节其脉冲（或switching）参数，达到系统预期的动态特性。针对半线性随机偏泛函微分方程，采用半群方法，解决其mild解不是鞅带来的困难，获得其适定性与渐近性的条件。并将获得的理论成果应用到随机生态系统、人工神经网络与混沌系统的同步问题的理论分析。

本项目研究随机泛函微分方程的适定性与渐近性分析，包括解的存在与唯一性、不变集、稳定性、 周期性与鲁棒性特征等。首先，研究 C 空间的条 件下随机泛函微分方程解的存在与唯一性。进而，针对随机噪声与时滞的不同类型，对其样本轨道进行分类处理，利用随机泛函微分方程解的 Markov 性质及随机分析的技巧，建立不同类型的时滞 L-算子不等式，利用 M-锥的性质，给出其解各种渐近性的条件。对具有脉冲或 Markovian switching 扰动 的随机泛函微分系统，调节其脉冲参数，达到系统预期的动态特性。针对半线性随 机偏泛函微分方程，采用半群方法，解决其 mild 解不是鞅带来的困难，获得其适定性与渐近性的条 件。并将获得的理论成果应用到随机生态系与人工神经网络的理论分析。

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