改进最大似然译码错误概率上界的新方法研究

Upper bounds on the error probability of linear codes under maximum-likelihood (ML) decoding serve as a useful tool for assessing performance of codes and for gaining insight into the effect of the system parameters. In this project we involve the following three aspects. 1) The geometrical structure of the codes: focus on the distribution law of the codewords in the high-dimensional space; 2) The selection methods of Gallager region: focus on exploiting the properties of the received signal vector; 3) The computational methods of the upper bound on the ML decoding performance of codes: focus on employing the geometry technology in the high-dimensional space. The innovations of this project include: analyse the general distribution law of the codewords of the general code and the special distribution law of the codewords of the specific code in the high-dimensional space respectively; select the Gallager region based on the properties of the received signal vector; compute the upper bound of any code on the ML decoding error probability by employing the high-dimensional space geometry. The proposed bounds will serve as an efficient theoretical and practical tool to analyse the perforance of codes and the system.

最大似然译码错误概率上界技术不仅能估计码的性能，还能指导编译码参数的优化设计。本项目的主要研究内容涉及三个方面。1）码字空间结构：主要分析与研究码字在高维空间中的分布规律；2）Gallager区域：主要研究基于接收向量属性的Gallager第一上界技术的Gallager区域设计方法；3）上界计算方法：主要研究任意纠错码的译码错误概率上界的计算方法。本项目的创新与特色之处包括：研究任意码的码字在高维空间中分布的一般规律及特定码的码字在高维空间中分布的特殊规律；利用接收向量的属性优化设计Gallager区域；通过引入高维空间几何学的理论计算任意纠错码的译码错误概率上界。项目的研究成果不仅可以为编码设计提供理论指导，还可以节约人力物力以加速系统性能的评估，兼具理论和实际意义。

本项目针对最大似然译码错误概率的Gallager第一上界技术，借助高维空间几何学理论，主要研究Gallager区域的设计方法及紧致上界的计算方法。在项目执行过程中，研究内容基本上按照原计划执行。在研究Gallager区域的设计方法方面，主要研究了以下内容：一、码字空间分布规律问题，引入高维空间几何学理论，提出了码字在高维空间中位置关系的描述方法，研究可以防止（或减少）译码错误概率区域的重复计算问题，提出了“成三错误概率”和“成四错误概率”的概念。二、利用接收向量的属性优化设计Gallager区域问题, 避免了传统设计思想中规则几何体本身形状的局限性，试图使Gallager区域尽可能地逼近发送码字的Voronoi区域。三、基于高维空间几何学的嵌套Gallager区域（只含有一个参数）设计方法，给出了最优参数存在的充要条件和最优参数与信噪（signal-to-noise ratio，SNR）无关的必要条件，同时，利用高维几何图形进行了简单直观的诠释。在研究紧致上界的计算方法方面，主要研究了以下内容：一、提出了基于截断重量谱的译码错误概率上界计算方法，有效地应用在未知整个重量谱的码的性能估计上，同时，将截断技术应用在现存基于GFBT 的上界中，可以有效地改进一些上界。提出了基于重量谱的成三错误概率上界的计算方法，结合截断技术，推导了若干性能紧致、计算复杂度低、重量谱使用率低的改进型联合界。二、提出了基于高维空间几何学的译码错误概率上界的计算方法，首次揭示了Herzberg 和Poltyrev 提出的球形界（sphere bound，SB）等价于Kasami等人提出的SB。提出了基于三角形谱的参数化GFBT，推导了改进型SB、改进型切面界（tangential bound，TB） 和改进型切面球形界（tangential-sphere bound，TSB）。三、提出了基于截断重量谱的译码错误概率仿真方法，避免了传统的蒙特卡罗仿真方法在高信噪比下计算复杂度高的缺陷。三年来，项目组发表国际国内重要期刊会议论文5篇，出版教材《通信原理实验教程》1部；出版学术专著《改进最大似然译码错误概率联合界的新方法研究》1部。授权实用新型专利1项。成功取得软件著作权2项。本项目研究成果对编码的设计和分析具有重要的理论意义和实用价值。

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