聚焦个体等级化的生物种群系统--演化预测与调控问题

There exists a difference of individual’s rank in most of biological populations. The difference plays a very important role in resources allocation, such as foods and territories. It affects the key vital parameters of individuals, and consequently constraints largely the evolution of populations. This project establishes mathematical models of partial integro-differential equations form (or systems of equations) based on the rank distribution of individuals, which is a kind of nonstandard infinite-dimensional systems and to which the existing research results cannot applied. After the study of basic properties of solutions to models, we investigate the associated control problems, with control variables being harvesting efforts, fertilities and emigration rates, including exact or approximate controllability and various optimal control problems, such as optimal harvesting, optimal state regulation, optimal-time control of endangered species, and so on. We delicately describe the optimal strategies and formulate theoretic and numerical methods for them. By thorough and rigorous analyses, we establish some basic control theory and methods for the populations with hierarchy of ranks, and enhance the development of population ecology and control theory. Besides, the research results obtained in this project will be helpful to the control of epidemic and economic systems with heterogeneity.

个体等级差异在生物种群内部普遍存在。这种差异对于个体获取食物、领地等生存资源具有极其重要的影响，因而决定了个体的关键生命参数，并在很大程度上制约种群的演化行为。本项目基于个体等级分布为种群（群落）建立偏微分-积分方程（组）模型，这是一类非标准的无穷维系统，现存的理论研究成果尚不能应用其上。在确立模型解的基本性质（如解的存在性、唯一性、非负性、平衡态的存在性与稳定性）后，致力于以收获强度、繁殖率、迁移率等措施，探索种群的相关控制问题，包括精确或近似能控性、各类最优控制问题（如最优收获、最优状态调控、濒危种群的最优恢复时间），精细刻画最优控制策略，提出理论和数值求解方法。通过对若干具有代表性的控制模型分析，建立个体等级影响下的种群控制的基本理论与方法，为生物多样性保护、可再生资源管理提供科学决策依据，促进种群生态学和种群控制理论向前发展，并为疾病控制、经济系统控制等非均质性系统提供方法支撑。

国内外大量的生态学研究成果显示：绝大多数的生物种群内部的个体之间存在等级或社会地位差异，这种差异对于个体获取生存资源（如食物、栖息地）有直接影响，从而对生物群落的演化产生重要影响。本项目基于个体等级差异为种群或者群落建立数学模型；对基于年龄或尺度（如长度、体重）的等级结构种群，所建模型为一类新的无穷维系统：偏（泛函）微分积分方程（组），其年龄或尺度边界条件具有全局反馈形式；如果等级差异由其它因素确定，那么所建模型为高维差分方程组。以演化模型为基础，主要研究四方面的内容：一是连续时间模型解的存在唯一性和非负有界性，研究方法为冻结系数和不动点推理；二是系统平衡态的存在性与稳定性，研究工具包括不动点原理、线性算子半群理论和离散动力系统理论；三是种群系统的可控性与镇定，控制措施包括捕捞或砍伐强度、幼体（苗）投放和初始种群分布，研究方法以线性系统为基础，运用多值映射不动点获得系统的可控性。结果表明：在合理的条件下，等级化的种群系统都是近似可控的。四是系统的最优控制问题，包括源于生态优化的种群调控问题，和基于资源开发的最大利益问题。建立最优策略的存在性、精确刻画最优策略的结构。建立存在性的工具包括线性泛函分析中的Mazur定理、非线性分析中的Ekeland变分原理；运用非线性泛函分析中的切锥法锥理论，并辅之以适当构造的共轭系统刻画最优策略的结构。结果显示：在绝大多数情形下，最优策略都具有Bang-Bang形式。. 本项目研究成果的科学意义包括生态学、经济学和数学三方面。从生态学方面看，可控性结果表明：可以通过个体迁移和幼体投放等手段，使得种群分布充分接近理想状态；从经济学方面看，最优收益策略告述我们：运用怎样的开发策略能带来最大收益；从数学方面看，项目成功处理了一类新的无穷维系统的可控性和最优控制问题。

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