Levy噪声激励的反应扩散系统的控制与随机镇定研究

The mathematical models of many practical problems belong to the reaction-diffusion systems driven by Levy noise. Studying the stability, stabilization and control theory of reaction-diffusion systems driven by Levy noise has academic value and broad prospects..This project attempts to, firstly, discuss the existence and uniqueness of solution to the Cauchy problem of reaction-diffusion systems driven by Levy noise; secondly, on the basis of Lyapunov method, apply the generalized Ito formula and stochastic analytical skills to extend some results about the dynamical behaviors of ordinary differential systems driven by Levy noise to the reaction-diffusion systems driven by Levy noise; thirdly, on one hand, accomplish the feedback control of the studied systems by designing the continuous-state or discrete-state feedback controllers via comparison principle, the upper and lower solution method, stopping-time theory and inequality techniques, on the other hand, stochastically stabilize the considered systems by adding proper white or Levy noises; finally, as an application, some criteria on the network stability, control and stochastic stabilization of recurrent neural networks are obtained and furthermore verified by simulations. The main highlight of this project are extending the control problems of finite-dimension systems driven by Levy noise to that of infinite-dimension systems driven by Levy noise and applying the generalized Ito formula under the integral with respect to the spatial variables.

许多问题的数学模型归属Levy噪声激励的反应扩散系统,该类系统的稳定性、镇定与控制理论研究具有学术价值和应用前景.首先,讨论具Levy噪声的反应扩散系统Cauchy问题解的存在唯一性; 其次, 基于Lyapunov方法运用推广的Ito公式与随机分析技巧,将具Levy噪声的常微系统的研究成果推广到具Levy噪声的反应扩散系统;同时,一方面利用比较原理、上下解方法、停时理论以及不等式技巧, 通过设计连续或离散的状态反馈控制器, 实现系统的反馈控制,另一方面通过输入具有一定强度的高斯或Levy噪声,实现系统在一定条件下的随机镇定;最后,作为应用,以Levy噪声激励的递归神经网络为实例, 给出网络稳定性、控制与随机镇定的充分判据,并通过仿真予以验证.主要创新是将Levy噪声激励下的有限维系统的控制问题推广到无限维,并在关于空间变量积分的意义下运用推广的Ito公式结合Lyapunov方法进行分析.

项目主要研究Lévy噪声激励的反应扩散系统的随机镇定。.作为研究基础，先对Ito噪声驱动的常微系统的随机镇定开展了研究，提出一种添加自适应激活的随机噪声控制的方法，利用噪声，消除原噪声的干扰，优化系统性能，实现多智能体系统的随机镇定。.进一步，研究了由维纳过程驱动，且噪声强度与基因自身的mRNA浓度和蛋白质浓度相关的随机神经网络,证明了在一定条件下，基因调控网络是几乎必然指数稳定的。.由于结论条件仅为充分条件，基因调控网络中的随机干扰项是否起了关键性作用？也就是是否确实是属于随机镇定？通过实际例子从不同角度验证了确实可以随机镇定。也就诠释了为什么生物体失去平衡时，可以自行恢复，是因为噪声的作用。.那么，由Lévy噪声驱动的基因调控网络是否也可能能够随机镇定？ 毕竟Lévy噪声驱动过程与维纳噪声驱动过程有较大区别。研究表明，Lévy噪声驱动的基因调控网络也可以随机镇定。.有了以上基础研究，接着就研究了Lévy噪声驱动的分布参数系统的随机镇定性。研究表明，在一定条件下，Lévy噪声驱动的分布参数系统是随机镇定的。遗憾的是，论文至今未被接收。.随机镇定的意义在于，相对于添加人为控制，充分利用环境噪声或者通过制造随机噪声镇定系统，所需能量更少，从而达到减少能耗的目的。.依托项目，于2016年11月5-7日在南京信息工程大学成功承办了“第4届TCCT随机系统与控制论坛”，收到广泛关注。

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