Non-Kähler几何流中的若干问题

Geometric flow and its application is an important subject in the field of differential geometry in these decades. From the Ricci flow introduced by Hamilton, people recognized that the geometric flow method is very powerful. So naturally, people considered to use geometric flow to study other geometric structures. For Kähler manifolds, we can run the Ricci flow directly, which is the Kähler-Ricci flow. While for non-Kähler geometry which Kähler condition doesn't hold, the geometric structure won't preserve if we run the Ricci flow directly. Then since 2008, Streets and Tian introduced a series of non-Kähler geometric flows to study the corresponding non-Kähler structures. This program aims to study these non-Kähler geometric flows, especially for the symplectic curvature flow and the generalized Kähler-Ricci flow (or the pluriclosed flow) in deep, and to solve some relevant problems. The problems involve the following aspects: to find monotone functionals in symplectic curvature flow, to prove the maximal existence time under the description of cohomology and to construct generalized Hermitian curvature flow.

几何流及其应用是近几十年来微分几何领域的重要课题。Hamilton引入的Ricci流使人们看到了几何流方法的强大。于是人们自然想到用几何流的方法去研究其他几何结构。对于Kähler流形，可以直接运行Ricci流，即得到Kähler-Ricci流。而对于不满足Kähler条件的non-Kähler几何，直接运行Ricci流并不能保持相应的几何结构。于是从2008年开始，Streets和田刚引入了一系列non-Kähler几何流来研究相应的non-Kähler结构。本项目旨在对这些non-Kähler几何流，特别是辛曲率流和广义Kähler-Ricci流（或pluriclosed流）进行深入研究，从而解决与之相关的若干问题。具体问题涉及以下几个方面：寻找辛曲率流中的单调性泛函，证明pluriclosed流最大存在时间的同调类刻画，构造广义Hermitian曲率流。

几何流是几何分析领域的重要研究课题，也是研究几何与拓扑的重要工具。1982年，R. Hamilton引入了里奇流，此后提出了用里奇流解决庞加莱猜想的纲领。2002年，佩雷尔曼在里奇流中引入了新的工具，从而解决了庞加莱猜想。由此可见几何流的工具在研究几何与拓扑的问题时的强大威力。另一方面，1985年，曹怀东发现在凯勒流形的背景下，里奇流可以自然运行，即保持复结构不动，里奇流自动保持凯勒条件，即凯勒里奇流。凯勒里奇流近些年来有很多进展，特别是被用于研究极小模型纲领。而对于非凯勒流形，问题则要复杂得多，单纯运行里奇流不足以保持相应的几何条件。因此要想用几何流的方法则其他几何结构也必须按照某种方式演化。本项目的主要研究内容就是与非凯勒几何流相关的问题。本项目提出了三个问题。第一个问题，辛曲率流中的佩雷尔曼型的单调性泛函问题，我们通过深入研究，对佩雷尔曼型的泛函进行了分类，对单调性问题给出了否定回答。第二个问题，解的长时间存在性刻画，我们研究了以曲率为障碍的长时间存在性问题。我们在这一问题上取得了一定进展，在四维情形证明了存在着一组好的标架可以使相关张量有简洁的形式。这一结果后来被用于证明四维情形辛曲率流解的长时间存在的障碍。第三个问题，与广义复结构相关的问题，我们研究了与广义复结构相关的希格斯丛与希钦方程。该方程与杨米尔斯流密切相关。我们证明了在循环希格斯丛的条件下，希钦方程的解对应的能量密度沿着C流的单调性，推广了希钦的关于能量的单调性的定理，我们还证明了控制型定理和负曲率定理。此外，我们还对离散曲率流进行了研究，证明了一定条件下离散R曲率流的长时间存在性和收敛性。上述结果加深了人们对几何与拓扑之间深刻联系的理解。

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