模形式系数的分布及其应用

The coefficients of modular forms is closely related to the number of representations of integers by positive quadratic forms, the number of partitions of integers, the number of class numbers of imaginary quadratic fields and the order of Tate-Shafarevich groups etc. , so to study the arithmetic properties of coefficients of integral and half-integral modular forms is a basic problem in number theory. This project will firstly study the coefficients of integral and half-integral modular forms by using Galois (pseudo-)representations and Chebotarev density theorem, and with the help of results obtained, we further study the distribution of coefficients of modular forms modulo powers of primes with the applications to the number of class numbers of imaginary quadratic fields , etc. in mind. Secondly, By using the Galois pseudo-representations we study the structure of Hecke algebras of congruence subgroups modulo a prime p, and in particular we study the structure of Hecke algebras of some big congrurnce subgroups modulo small primes, and so we can obtain more accurate expressions of coefficients of modular forms. Lastly, we will use the structure of Hecke algebras modulo a prime p to study and explain congruences of certain partition functions.

模形式的系数往往联系着二次型表示数的个数，整数分拆的个数，虚二次域的类数，Tate-Shafarevich群的阶等，因此研究整权和半整权模形式系数的算术性质是一个基本的数论问题。本项目首先将以整权和半整权模形式的系数为研究对象，利用Galois表示（或伪表示）和Chebotarev密度定理，在已经取得的工作的基础上，对模形式的系数在模素数幂的情况下的分布问题做进一步深入的研究，同时考虑其在虚二次域类数等问题上的应用。其次，本项目利用Galois伪表示的理论研究同余子群上的Hecke代数模素数p之下的结构问题，特别是研究对于一些大的同余子群上Hecke 代数在模小素数之下的结构问题，由此得到在这些群上的模形式系数密度更为精确的表达式。最后利用Hecke代数模素数p之下的结构来研究和解释某些分拆函数的同余性质。

模形式的系数往往联系着二次型表示数的个数，整数分拆的个数，虚二次域的类数，Tate-Shafarevich群的阶等，因此研究整权和半整权模形式系数的算术性质是一个基本的数论问题。本项目在模形式系数的分布上取得了进展。我们证明了对于整权模形式，它的系数在模素数幂的的分布情况完全可以由它模素数的分布决定，同时我们得到了正则分拆在模素数幂之下的分布。我们也对半整权模形式系数模素数之下的分布情况做了研究，由此得到了在虚二次域的类数 上的应用。最后，我们刻画了Broken-7,9,11钻石分拆函数系数奇偶性质。特别地，我们完全刻画了Broken-9钻石分拆函数系数的奇偶性。

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