复双曲格以及曲面群表示

Fundamental domain is an important way to study the geometry theory of dicrete groups. This project will study two classes of complex hyperbolic isometric groups by construction of fundamental domains,which are complex hyperbolic lattices and representations of surface groups. First, we use geometric and algebraic ways to investigate one kind of complex hyperbolic arithmetic lattices, called Picard modular groups, explicitly, to find the representations of Picard modular groups with finite relations and construct their fundamental domains in complex hyperbolic plan. Next, we study in general the complex hyperbolic Artin groups which are the generalization of Mostow groups, describe the parameterizations of their generators and then discuss the range of parameters whether the groups are discrete or not, furthermore, construct their fundamental domains if the groups are discrete. Finally, we study the geometry of complex hyperbolic quasi-Fuchsian space of compact surface, construct explicitly an example which corresponds to each Toledo invariant in each component of complex hyperbolic quasi-Fuchsian space.

基本域是研究离散群的几何理论的一个重要方法。本项目将采用基本域的构造来研究两大类复双曲等距群，也就是复双曲格与曲面群的复双曲表示。首先我们用几何和代数的方法去研究一类复双曲算术格（Picard模群），寻求它们的有限表示和在构造它们在复双曲平面中的基本域，并进一步计算它们的局部系数上同调。其次我们研究一般的复双曲Artin群，它是Mostow群的推广，刻画它们生成子的参数表示，讨论参数范围使得群是否离散并在离散情况下构造它们基本域。最后我们将研究紧曲面的复双曲拟Fuchsian空间的几何形状，具体地构造出在各个复双曲拟Fuchsian空间的连通分支中对应每个Toledo不变量的例子，部分解决一个公开问题。

Poincaré多面体定理是研究离散群的几何化理论的一个的重要方法。在实双曲空间中，无论是建立Möbius群（或Kleinian群）的Jørgensen不等式，还是用Poincaré多面体定理来判断群的离散性都已经被广泛研究了。本项目利用复双曲Poincaré多面体定理研究了两大类的复双曲等距群（Picard模群和曲面群的表示），首先构造出了Picard模群作用在边界上的基本域从而得出无穷远点的稳定子群的表示，再根据某些Picard模群只有一个cusp的性质得出了整个Picard模群的有限生成子的群表示。其次我们研究了紧曲面的复双曲拟Fuchsian空间的几何形状，也就是我们在每个复双曲拟Fuchsian空间的连通分支中构造出一个具体例子，它们所对应的Toledo不变量的各不相同，这部分地解决一个公开问题。

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