Birkhoff 动力学的非完整几何积分子及对称性理论的研究

Numerical method for constrained mechanical systems is one of the key topics of engineering dynamics. The constraint submanifold for the nonholonomic mechanical systems is not the symplectic manifold. This is the bottleneck on simulating the behaviors of the nonholonomic dynamical systems by symplectic algorithm. Based on the basic concepts of differential geometry for nonholonomic mechanical systems in generalized Birkhoff sense, the geometric nonholonomic integrators and the symmetries are studied.The relationships between the conservations derived from the symmetries and that from the geometric nonholonomic integrators are investigated. The preservation of the constraints and the geometry are highlighted via the symplectic forms of Birkhoff systems with nonholonomic constraints. The geometric nonholonomic integrators are effective by comparing the conservations with that from the discrete Noether symmetries.The integrators are applied to solve the dynamics with nonholonomic constraints. The reasonability of the structure-preserved, the accuracy and the stability for the new schemes are verified. The research in this project will be expected to contribute to the development and improvement of the theories about the unknown conservations and the algorithm of the nonholonomic mechanical systems. It provides specific theory references for the numerical calculations of other types of constraints in the engineering industry.

约束力学系统的数值计算方法在处理工程实际问题时非常关键。非完整动力学系统的约束子流形不是辛流形，这成为制约保辛数值计算方法在模拟非完整系统动力学行为方面的主要瓶颈。本项目旨在基于非完整力学系统在广义Birkhoff表示下的微分几何结构的基本概念，研究系统的非完整几何积分子和对称性理论。探讨非完整几何积分子得到的守恒律和离散对称性方法得到的守恒律的关系。重点研究基于Birkhoff形式下的非完整系统的辛结构形式，给出保系统约束和几何性质不变的非完整几何积分子。通过与离散动力学的Noether对称性理论得到的守恒量比较，探讨非完整几何积分子在保系统守恒律的有效性。应用到非完整动力学模型。验证非完整几何积分子在保系统结构、计算精度、稳定性等方面的合理性。该项目研究的开展将会发展和完善非完整动力学的数值算法和未知守恒律理论，为研究带有其他类型约束的动力学系统的数值算法提供理论参考。

以离散变分原理为基础，研究了Birkhoff动力学系统的变分算法、离散对称性和守恒量。基于变分积分子的数值算法是一种保结构数值计算方法。而基于变分积分子的对称性和守恒量理论也为离散动力学系统的求解提供一种途径。.首先，将Chaplygin型非完整系统进行Birkhoff化，得到保辛的非完整几何积分子。给出了力学中具有Chaplygin型非完整约束的动力学系统的几何数值积分。研究了Hamilton系统的离散共形不变性和离散守恒量，通过变分算法模拟Kepler系统，验证变分算法在处理Hamilton系统的有效性。.其次，得到了含有小扰动Lagrange系统的离散摄动和绝热不变量，并通过离散的 Noether 定理导致守恒量。.再次，探讨非完整几何积分子的具体形式，得到基于Birkhoff形式下的非完整系统的辛结构形式，通过引入垂直互补算符，结合非完整系统离散的Lagrange-D’Alembert原理，给出能够保系统几何结构的数值算法，即保辛的非完整几何积分子的具体形式。同时得到了离散Noether对称性和守恒量的离散形式。数值结果表明，几何数值算法能准确地模拟带有 Chaplygin 型非完整约束系统的动力学形为。通过算例的解析表达式, 说明了离散系统的对称性导致的守恒量的物理性质与连续系统具有较好的一一对应关系。.最后，对本项目的研究工作进行了总结，提出了本项目的创新点，进一步展望了将来的研究工作。在本项目的支持下，到结题时为止，已经发表与本课题研究内容相关的学术论文8篇，其中SCI收录论文5篇。

内容获取失败，请点击重试