光栅衍射问题及其反问题的数值算法与分析

A periodic and surface-relief optical material (called also grating) illuminated by one or more plane waves yields a diffraction phenomenon, which has many applications in micro-optics. This project studies the direct and inverse problems for a 1D diffraction grating. With regard to the direct problem, we consider to obtain the diffraction field using the finite volume element method (FVEM), which is popular in engineering over the years. An effective FVEM solver will be constructed by truncting outgoing waves with PML techniques and adjusting meshes with adaptive skills. As to inverse problems, we take into account the reconstruction of the grating profile from intensity data (phaseless data) of the diffracted field. On one hand, we try to recover the grating profile by optimization techniques and linear sampling methods, etc. On the other hand, we will explore the uniqueness of the inverse problem according to the numerical performance that the outline of gratings can be recovered from the intensity information, but not the position. Not only will these studies enrich the mathematical theories for diffraction gratings, but also be applied well in practice.

一个或多个平面波照射到具有周期结构、表面凸凹起伏的光学材料（也称光栅）上所产生的衍射现象，在微观光学中有许多重要应用。本项目针对1D衍射光栅，研究其正问题及反问题。对于正问题，考虑使用近年来工程中流行的有限体积元法（FVEM）求解衍射场。利用PML技术截断外行波，运用自适应技巧调整网格剖分，构造有效的FVEM求解器。对于反问题，考虑从衍射场的强度数据（无相数据）重构光栅的形状：一方面，研究使用优化方法、线性抽样法等反演光栅；另一方面，针对数值实验所表现出来的现象- - 仅知道强度信息，能重构光栅的轮廓，但不能确定光栅的上下位置- - 研究此类反问题的唯一性。这些研究不仅能进一步丰富衍射光栅的数学理论，同时也将在实际中得到很好的应用。

当平面波照射或传播到具有周期结构的材料或介质所发生的衍射现象，以及通过测量散射波推断界面形状结构的反衍射问题，在科学研究与工程计算中有着广泛的应用。本项目一方面研究了利用有限元及有限体积元法求解散射（衍射）问题；另一方面研究了光栅衍射问题的反问题。具体来说，得到了如下研究结果：推导了自适应有限体积元法的后验误差估计，并结合完美匹配层(PML)技术构造了有效的求解光栅衍射问题的数值算法；利用透明边值条件方法截断无界的散射问题区域，建立了自适应的有限元方法求解二维障碍散射问题；利用PML截断技术，设计了自适应有限元方法求解二维及三维弹性波在周期结构中的衍射问题；针对横向磁场极化（TM）情形，给出了一种有效的求解光栅几何形状的数值计算方法；对于具有两层介质光栅问题，设计了一种通过单侧测量数据重构交界面形状的优化算法；分析了无相数据重构光栅形状反问题的唯一性，得出仅知道强度，能够反演形状，但不能确定位置。这些研究不仅能进一步丰富衍射问题的数学理论，同时也将在实际应用中得到很好的应用。

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