平坦度量空间的若干研究

We will study the following two closely related and separately significant topics: 1.The strong spectral rigidity problem for flat metrics; 2.Properties of metrics on the space of flat metrics. To be precise, we will focus on the following basic aspects: 1.The strong spectral rigidity problem for flat metrics: To determine whether the isometry class of a flat metric is completely determined, in the strongest sense, by its marked length spectrum. 2.Properties of metrics on the space of flat metrics: (1).To introduce some natural (pseudo-)metrics on the space of flat metrics, such as Thurston's pseduo-metrics and the Lipschitz pseudo-metrics. (2).To characterize the extremal Lipschitz mappings which realize the corresponding Lipschitz pseudo-metrics, and to study the uniqueness of such extremal mappings. These studies are naturally related to the theory of Riemann surfaces, quadratic differentials, hyperbolic geometry (especially measured foliations), Teichmüller space, and the theory of geodesic currents. In particular, the application of the theory of geodesic currents will enable us to analyse and solve these questions from a higher level. These studies will enrich and deepen the study of rigidity problems for metrics, and help us to get a better understanding of the geometric properties of the space of flat metrics.

本项目将研究以下两个密切相关、又分别具有独立意义的方面：1.平坦度量的谱强刚性问题；2.平坦度量空间的度量性质。我们将主要研究下述基本问题：1.平坦度量的谱强刚性问题方面：平坦度量的标记长度谱是否决定其等距类。2.平坦度量空间的度量性质方面：(1).在平坦度量空间上引入自然的（伪）度量：Thurston伪度量、Lipschitz伪度量。(2).对实现Lipschitz伪度量的极值Lipschitz映射进行刻画，并讨论其唯一性。上述研究是与Riemann曲面理论、二次微分理论、双曲几何（特别是可测叶状结构理论）、Teichmüller理论以及geodesic current理论相交叉的。特别地，geodesic current理论的运用使我们可以从更高的层面上分析和解决问题。这些研究从理论上丰富和深化了对度量的刚性问题的研究，并将帮助人们更好地理解平坦度量空间的几何性质。

本项目研究以下两个密切相关、又分别具有独立意义的方面：1.平坦度量的谱强刚性问题；2.平坦度量空间的度量性质。我们首先对单位圆周间的同胚映射的逆扩张进行研究，得出它的调和性，和其第一变分的调和性，以及具有调和逆扩张的同胚映射的分布；其次，我们对逆扩张的最大伸缩商的上界进行，得出了比A. Douady & C. J. Earle和胡俊& O. Muzician更精确的估计；再次，我们对渐进Teichmuller空间的性质和应用展开研究，给出Bers嵌入映射一个新的证明，同时应用到拟共形映射与其Beltrami微分的关系研究。. 黎曼面间的调和映射的Hopf微分是全纯的，Wolf证明了亏格大于1的紧黎曼面间的Teichmuller空间与某一相同亏格的紧黎曼的全纯二次微分空间统配，从而全纯二次微分空间可以作为Teichmuller空间的坐标空间，进而研究Teichmuller空间。所以同胚映射扩张问题的调和行是研究Teichmuller空间的重要方法，同时也研究渐进Teichmuller空间的重要工具，也为平坦度量空间的研究提供工具。

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