混合模型的方差元素检验及函数型混合模型研究

This project is about multiple variance components testing in mixed models and the statistical inference of varying-coeffcient functional mixed models. Mixed models and functional mixed models are widely used in biomedical science. Testing for the the existence of any subset of variance components is a nonstandard testing problem in statistics and then it is important to develop the distribution-free and tractable tests in the sense that the critical values of the tests can be determined by their asymptotical distrubitions instead of the Monte Carlo method. Besides, based on the connection of longitudinal data and functional data and the relationship between classic regressions and functional regressions, statistical inference of varying-coefficient functions in functional mixed models will be investigated. In particular, testing for regression-coefficient functions in functional regression is a kind of ill-posed problem, which is interesting and challenging.

本课题是研究混合模型中方差元素任意子集是否存在的检验以及对变系数函数型混合模型做统计推断的研究。混合模型及函数型混合模型在生物医学中有着广泛的应用，混合模型中任意方差元素是否存在的检验是统计学中的非标准检验问题，对此发展具有分布自由且易于操作（能根据极限分布直接确定临界值而不需借助蒙特卡罗方法）的检验具有重要意义。 此外，基于纵向数据和函数型数据的特点以及经典回归与函数型回归的差别与联系，研究变系数函数型混合模型的统计推断具有重要的理论和实际意义；特地，探讨函数型回归中回归系数函数的检验是统计学中一类病态逆问题，在统计理论的丰富上具有重要意义也颇具挑战。

混合模型是生物医学、经济学以及图像（形状）分析等领域中重要的统计建模工具，有着重要的理论和实践意义。. 本项目主要研究了ANOVA型混合模型中随机效应和随机误差的任意阶矩估计，提出了简单易行且分布自由的估计方法，建立了估计的（强）相合性；.研究了非线性混合模型的统计推断，构造了回归系数、误差方差、随机效应协方差矩阵以及随机误差四阶矩、随机效应的四阶混合矩的估计，并且确立了这些估计的强相合性：针对随机效应的任意分量是否存在的非标准检验问题，构造了分布自由的做差检验法，其中做差检验是相合的而且能够探测到以样本量的平方根倒数收敛速度（最快收敛速度）的局部备择假设，针对随机效应是否存在（即随机效应的方差是否为零）的假设，还构造了新的得分型检验，数据分析表明，新提出的做差检验最有效,新得分检验优于文献中现存的检验。. 研究了纵向数据场合非线性混合模型中回归系数与方差元素的profile最大似然估计，证明了估计的强相合性和渐近正态性，同时发展了相应的EM算法，模拟研究表明该估计优于文献中的Fisher-Scoring方法。. 考虑了高维场合下广义线性混合模型中固定效应部分的变量选择，发展了针对随机效应协方差矩阵带有自适应替换矩阵的惩罚拟似然，建立了变量选择的相合性。. 考虑了函数型回归分析，对函数型线性回归关系是否存在提出了新型的F检验，分析了检验在理论分布和功效性质，数据模拟分析表明新的检验比文献中现有检验更有效(more powerful)。. 同时考虑了多重假设检验问题，提出了自适应程序和改进的加权多重检验方法并建立了相关理论。

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