基于有限谱数据重构球面分层介质折射率的稳定性研究

Reconstructing the refractive index of scatters from spectral data are important research contents in the scattering theory of acoustic wave propagation, which have important applications in many fields of natural sciences, such as medical imaging, nondestructive test and radar, etc. This project will take the transmission eigenvalue problem for the spherically stratified media as the research object. By analysing the spectral data, and based on the Riesz basis and the theory of complex analysis, we study the stability of the inverse spectral problem. The main contents are as follows. (1) We give the asymptotic formulas for the non-real eigenvalues and the norming constants corresponding to the real eigenvalues, as well as the compatibility of the asymptotic formula between the non-real eigenvalues and the known real eigenvalues. (2) We seek the optimal spectral data for determining the refractive index of the scatter, and prove the uniqueness theorem; we study the degree of approximation between the reconstructed refractive index of the scatter and the real one, when the measured spectral data is incomplete or with errors, and theoretically, we verify the stability of inverse spectral problems with only a finite number of input data. (3) By the quasi-Newton method and successive approximation method, we try to design the numerical reconstruction algorithms of the inverse spectral problems, and give numerical examples to illustrate the stability of reconstructing refractive index from only a finite number of spectral data. This project will solve the contradiction between that only finitely many spectral data can be acquired in reality and that the uniqueness needs infinitely many data in theory, which will provide mathematical theory for the practical problems in the fields of medical science and so on.

基于谱数据重构散射体折射率是声波传输散射理论中的重要研究内容，在医学成像、无损探伤及雷达等领域中有重要应用。本项目以球面分层介质的传输特征值问题为研究对象，通过分析其谱数据，基于Riesz基及相关复分析理论，对其逆谱问题的稳定性进行研究。其研究内容为：（1）刻画实特征值所对应的规范化常数和非实特征值的渐近性质，及非实特征值与已有实特征值渐近估计的相容性；（2）寻求确定散射体折射率的最优谱数据，并证明其唯一性定理；研究当输入数据不全或存在误差时，重构得到的散射体折射率与真实折射率之间的逼近程度，从理论上证明具有有限个输入数据的逆谱问题稳定性；（3）运用拟Newton和逐次逼近等方法设计逆谱问题的数值重构算法，数值模拟证实仅由有限个谱数据重构散射体折射率的稳定性。本项目将解决现实中只能获取有限个谱数据和理论上唯一性需要无穷多个谱数据之间的矛盾，拟为医学等应用领域中的实际问题提供数学理论。

基于传输特征值数据重构散射体介质内部信息是声波逆散射和量子散射中的重要课题，受到了国内外相关专家的广泛关注。本课题的最终研究目标是：对球面分层介质的传输特征值问题，获得利用有限个谱数据重构散射体内部属性函数的稳定性。在项目执行的三年里，我们研究了以下内容，并取得了一些重要成果，达到了预期的研究目标。具体如下：. 运用复分析工具刻画传输特征值的性质。利用指数型整函数的相关结论，结合变换算子理论，给出了传输特征值密度为某定值的充分必要条件，这也蕴含了非实特征值存在的充要条件。此外，刻画了复（实和非实）传输特征值渐近性质，包括特征值的下标编号与个数的关系。. 研究具有Robin边界条件的逆传输特征值问题。在复特征值渐近估计的基础上，证明了基于混合谱数据的逆问题唯一性定理；解决了Aktosun和Papanicolaou提出的一个公开问题，证明了基于实特征值数据的局部可解性和稳定性。. 基于传输特征值数据研究散射体内部属性函数重构的稳定性。首先考虑了基于Aktosun-Gintides-Papanicolaou数据的逆问题，证明了其在弱意义下由半径为R的圆盘内的传输特征值重构势函数是稳定的。其次，研究了基于McLaughlin-Polyakov数据的逆问题，分别证明了其在弱意义和L^2强意义下，由所有传输特征值数据重构势函数的稳定性。特别地，在弱意义下，我们也获得了基于有限特征值数据的逆问题稳定性估计。. 除了上述针对传输特征值问题的研究外，我们还拓展地研究了与之相关的其他模型的逆问题：证明了数量型和矩阵型Schrödinger算子的逆散射稳定性；获得了广义Regge问题的局部可解性和稳定性；给出了基于声压数据重构人体声道内部结构的逆问题唯一性定理和重构算法。. 这些研究成果解决了传输特征值问题中长期未得到解决的逆谱稳定性问题，提出了一些新的方法。这些成果和方法拓展了微分算子的反谱理论，特别是基于有限谱数据的稳定性刻画，为实际应用提供了理论支撑。

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