关于声波反散射问题中一类特定逆源问题的重构: 理论分析和快速算法的设计

This project aims at the reconstructions of certain kinds of acoustic sources for the inverse scattering problems in the frequency domain, mainly focused on the theoretical analysis and development of fast algorithms. We will consider the following problems. First, our motivation is based on the fact that a lot frequently used acoustic sources do not belong to Hilbert spaces, including the point sources which are Delta functions. Instead, they belong to Radon measure space, which is a Banach space. However, how to reconstruct such kinds of acoustic sources is unclear currently. Actually, reconstructing this kind of singular but frequently used source is meaningful. Existing results tell that this kind of sources could not be reconstructed uniquely, and the reconstructing is essentially calculating the inverse of compact operators without injection, which is very difficult and challenging. We will study the mathematical existence and the properties of reconstructed solutions in appropriate Banach spaces, with the help of the PDE theory and analysis techniques. Second, we will develop fast algorithms for efficient numerical computations in appropriate functional spaces, with the newly developed first order algorithms from convex optimization. Furthermore, we will study the properties and physical meaning of the numerical solutions, and analysis the convergence properties of the iteration algorithms, which could provide some theoretical supports and efficient algorithms for real applications. The results of this research program probably could bring out some benefits for lots of science and technology fields including oil exploration, non-invasive detecting and so on.

本项目旨在研究频域声波逆散射问题中一类特定逆源问题的重构理论和快速算法。我们的研究内容和目标是：考虑以下问题，（1） 实际应用中很多常见的声源，比如点源是Delta函数，但它并不属于Hilbert空间，属于更大的Radon测度空间，是个Banach空间。如何重构这类奇异的常用声源是有意义的。已知的研究结果表明，使用单个频率，无法唯一的重构这类声源。该类问题本质上是一个非单射的、紧算子的求逆问题，非常有挑战。我们将研究如何利用偏微分方程和分析的理论来讨论该类逆源问题在Banach空间中的存在性及其性质。（2）在数值上，将发展和利用新的一阶凸优化算法，利用正则化变分模型，在合适的函数空间中，来高效的求解该问题。进一步研究数值解的数学性质和物理意义，分析算法的效率，收敛性和收敛速度，为实际应用提供理论支持和算法工具。项目的研究成果将对油藏勘探，无损探测等众多科学技术的发展具有指导意义。

本项目系统的研究了逆散射问题中稀疏解问题的重构理论和快速反演算法。关于该反问题的正散射问题，我们证明了声源属于拉东测度空间，正问题解的适定性，即解的存在性，唯一性和稳定性。该类解包括基本解，正则性较差，具有很强的奇异性。我们得到该类散射问题非常弱解的适定性。关于声源属于拉东测度空间时正问题解的正则性，我们的适定性结论是第一个相关结果。关于相应的数值重构算法，在凸优化算法的框架下，我们发展了半光滑牛顿方法，同时得到了该算法的收敛性。该方法在频率不是很高的情况下，计算量较少，相对高效。由于散射场是复数值函数，而通常的优化算法都是关于实数值变量。我们深入的研究了如何将复数值的线性映射和函数转化为实数值的矩阵映射和向量。为复数值变量的半光滑牛顿优化算法建立一个完整的框架。另外关于使用电磁波或弹性波来探测未知散射体，我们也发展了基于散射振幅的渐进分析和已知散射体信息的匹配识别算法。关于一阶交替方向的拉格朗日乘子方法和相应的松弛算法，我们系统的研究了其与相关一阶算法之间的深刻联系，并证明该算法在希尔伯特空间中的收敛性。我们也考察了预调件的交错拉格朗日方法在图像分割中的应用。项目的研究成果将能够对油藏勘探、无损探测、图像处理等众多领域的科学技术发展提供一定的帮助。

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