动力系统中热力学形式和维数理论的交叉研究

In twentieth century, Chaos and fractals were found to be ubiquitous and deep nature phenomenon in nature science, which have now become important content while scientists study the complicated behaviors of dynamical systems. At the same time, dimension theory becomes another important aspect in dynamics after the strange attractors were discovered. Some famous Mathematicians such as Sinai, Ruelle and Bowen, established the mathematical theory of thermodynamic formalism by introducing equilibrium statistical physics into dynamical systems, which has been turned into a valuable tool for studying the dimension theory in dynamics. With the development of modern dimension theory, new demands are raised for researching the thermodynamic formalism. This project is on the crossover study of thermodynamic formalism and dimension theory. We will use the ideas from dimension theory to study the mathematical theory of non-compact thermodynamic formalism in dynamical systems, and we will pay special attention to the applications on multifractal analysis and chaos such as the questions on the Bowen equations via Packing dimension, the Packing dimension of distributional chaotic sets, and so on. Furthermore, we will also study the problems on the scale of chaotic sets through the methods in the theory of non-compact thermodynamic formalism and multifractal analysis. This research will help to understand the complexity of geometric structures and dynamical behaviors of chaotic systems.

混沌和分形是二十世纪人们在自然科学中发现的普遍而深刻的自然现象，已成为动力系统复杂性态研究中的两个重要内容。动力系统中的维数理论是在人们发现奇异吸引子之后，产生的动力系统的又一重要研究方向。著名的动力学家Sinai, Ruelle和Bowen将平衡态统计物理引入到动力系统，建立了动力系统中的热力学形式的数学理论，已成为动力系统维数理论研究的重要工具。当今维数理论的发展，对热力学形式的研究提出了新的要求。本项目是对动力系统的热力学形式和维数理论交叉研究。 运用维数的思想研究动力系统中的的非紧热力学形式的数学理论，并注重其在重分形分析和混沌研究中的应用, 例如：Packing维数的Bowen方程，分布混沌集合的Packing维数等问题。进一步我们将用非紧的热力学形式理论和重分形分析的方法研究混沌的尺度问题。本项目研究将有助于人们对混沌动力系统的几何结构的复杂性和动力性态的复杂性的认识。

项目期间，项目成员发表论文14篇，已接受2篇，完成论文8篇。.1）在动力系统的热力学形式理论方面，我们对于拓扑动力系统定义了诱导拓扑压，并建立变分原理；研究了几乎乘积条件下的Birkhoff 平均的historic集的重分形分析，得到了广义水平集的Pesin 非紧拓扑压的条件变分原理，并回答了Olsen等人在2003年提出的一个公开问题；研究具有非一致Specification性质的拓扑动力系统的 Birkhoff 平均的重分形分析，到Pesin 非紧拓扑压的条件变分不等式，应用于Viana 映射等非一致动力系统。.2）在动力系统的拓扑熵理论方面，研究了Bowen 非紧拓扑熵的乘积性质，给出了Packing熵的变分关系；研究了amenble群作用动力系统的 Bowen 非紧拓扑熵，对于某些tempered Folner 序列，得到了相应Brin—Katok局部熵引理。证明了 Bowen 非紧拓扑熵的变分原理，得到了对于整个空间，其 Bowen 非紧拓扑熵与经典拓扑熵相等。证明了对于遍历测度，其通有点集合的非紧拓扑等于其测度熵；对于加权Bowen 非紧拓扑熵，我们也得到了类似结果。另外，证明了amenble群作用动力系统的大变差定理。.3）研究非一致双曲系统的重分形分析，用纯拓扑的方式定义了Weak Shadowing Property。研究了遍历测度在Pesin集或双曲集邻域上的支撑的重分形分析，得到了Birkhoff平均水平集与发散点集的条件变分原理以及大变差定理。对于具有非一致结构的符号动力系统我们建立了饱和集合的条件变分原理。.4）在保测系统中引入了测度熵维数的概念来研究零熵系统的测度复杂性，证明了相应的Furstenberg不交性定理。证明了存在无理旋转数使得对应的确定性随机游走模型具有给定的熵维数。.5）研究了随机动力系统中拓扑相对tail熵。建立了随机丛动力系统拓扑相对tail熵的变分原理；研究了随机动力系统中的平均拓扑维数理论。 给出了丛随机变换的平均拓扑维数定义，证明了丛随机动力系统中有限拓扑熵和小边界性均蕴含零平均拓扑维数。. 项目期间培养博士研究生4名、硕士研究生11名。在读硕士研究生4名。在读博士研究生3名，博士后1名。

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