粗糙界面成像中反问题的研究

Recently, the amount of observation data obtained from high-resolution earth observation satellites has increased exponentially, the existing methods of processing and analyzing data have not been satisfied. Currently, it is an urgent problem to reconstruct the earth's surface information by using the data collected from the high resolution satellite. Mathematically, it can be modeled as a rough surface imaging of scattering problem. It is also a nonlinear ill-posed problem, which means that small variations in the data will be enlarged and lead to huge errors in the computed results. The rough surface is assumed to be a small and smooth deformation of a plane surface. Therefore, This project will plan to develop mathematical models for solving the problem of acoustic wave, electromagnetic wave and elastic wave scattering on the rough surfaces; examine the mathematical issues such as the existence, uniqueness, and stability of the solution to the inverse problems. Based on the method of transformed field expansion and spectral regularization technique, develop a novel method to improve reconstruction accuracy for far-field imaging of rough surfaces by investigating higher order correction in the reconstruction formula. The method can break the diffraction limit and obtain stable super resolution imaging. The proposed method is applied to reconstruct rough surfaces using far-field data collected from satellites or radars, which can be used in estimating above-ground biomass, and ecological environment protection.

近年来，由高分辨率对地观测卫星（高分卫星）得到的观测数据量成指数级增长，现有的处理、分析数据的方法已经得不到满足。目前，利用高分卫星采集的数据来重构地表信息是一个亟待解决的问题。这本质上是关于粗糙界面散射的成像问题，它是一个非线性的反问题。该问题也是一个非线性的不适定问题，即测量数据一个小的扰动就会导致计算结果的巨大误差。粗糙界面一般认为是平面经过小而光滑的变形得到的。因此，本项目将建立粗糙界面上各类散射（声波、电磁波及弹性波）问题的数学模型，研究其反问题的全局唯一性和稳定性。结合已有的变换场展开法和谱截断正则化技术，在重构公式中增加高阶项来研发一种新的用于远场数据重构粗糙界面成像的方法，该方法将能突破衍射极限获得稳定的超分辨成像。结合卫星、雷达获得的远场数据，将该方法用于重构地理信息，包括地貌、植被高度测量，生物蓄积量测算等问题。

界面散射成像问题广泛存在于工业、医疗、地质等重要科学技术领域，如屏幕无损检测、B型超声图像成像、石油探测和地理信息重构等问题。本项目主要研究声波、电磁波和弹性波界面散射中正、反问题的理论和高效数值算法，特别是对散射界面重构（成像）进行了深入研究，包括直接成像法和迭代成像法。针对声波散射问题，首先推导了Matern基函数的Helmholtz型方程的闭式特解，并利用基于Matern基函数和多项式基函数的特解法、近似特解法、局部特解法和局部近似特解法等无网格方法对Helmholtz型方程进行了深入研究。然后基于目标界面散点数据，提出了采用基于Helmholtz型方程的近似特解法对界面进行重构。最后为了提高界面重构的精度，考虑在界面周围引入了一系列非线性点散射体以激发产生高次谐波，并推导了相应的广义Foldy-Lax公式，进而提出了一种新的基于FFT的直接成像方法来重构散射界面。此外，对反随机源散射问题，证明了其正问题解的唯一性，并提出使用多频数据求解Fredholm型积分方程的正则化块Kaczmarz方法来重构随机源的均值和方差。针对电磁波散射问题，提出了一种基于时域有限差分的直接法对Kerr型非线性介质中电磁波散射进行数值求解，并证明了该模型的连续稳定性和所提出方法的离散稳定性。针对弹性波散射问题，从数值上详细研究了光滑有限元法（S-FEM）的各种性质，并提出利用基于边的S-FEM和两种基于重构梯度的基于节点的S-FEM，与透明边界条件（TBC）和完美匹配层（PML）截断技术相结合，对弹性波散射问题进行了广泛研究；同时在界面重构方面，推导了纵波势和横波势的区域导数，并提出了一种基于区域导数的梯度迭代方法来重构散射界面。本研究具有一定的实际意义，其能够进一步结合卫星、雷达等散射数据用于重构地理信息，如地貌、植被高度测量，生物蓄积量测算等，为城市绿地生态结构调整、空间上的合理布局以及生态环境保护提供依据。

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