算子理论在量子熵及量子纠缠问题中的应用

量子纠缠态是量子理论最基本,最重要的特征,其数学结构目前还没有完全研究清楚。著名的PPT判别法只对2×2和2×3系统是充分条件。目前，在量子纠缠问题研究中主要使用的是矩阵理论和几何的方法，分析思想方法的使用还十分有限。因此，无限维Hilbert空间上的量子纠缠问题研究成果较少，特别是在无限维纠缠问题研究中需要更多的算子理论和算子代数的研究方法和理论。本课题将以算子理论，算子代数及算子空间的研究成果和思想方法为工具，尤其考虑在Arveson近来研究基础上，主要研究多体量子系统的量子熵及量子纠缠问题中涉及到的数学问题，探讨从算子理论方面给出量子纠缠态判定的条件和建立量子熵与量子纠缠态的联系，探讨量子熵与量子纠缠态的一些经典结果在无限维空间和算子代数上的表现形式。研究目的是通过算子理论方法,进一步研究多体量子系统上量子纠缠态的数学结构,进一步拓广量子纠缠概率结构的研究。

本项目主要是算子理论与量子信息论的交叉研究，在三年的研究中，我们主要以算子理论与算子代数为工具，研究了量子理论中涉及到的数学问题。在多个方面推进和深化了项目的研究设想，例如，在量子优化和量子熵的结合方面，在量子运算的不动点的数学结构及广义量子运算的端点及其性质的刻画方面，取得比较多的成果，而且这些结论还有待继续研究的价值。 . 我们的主要研究成果有以下四个方面。1. 量子运算的不动点及量子态的保真度（quantum fidelity）和部分保真度（partial fidelity）的数学理论的研究。我们主要建立了互为对偶运算的两个量子运算的不动点的数学结构；利用算子理论给出了量子运算不动点的几个新的等价刻画；同时证明了无限维空间上的‘量子运算的算子和表示的酉自由定理’。在量子测量的数学结构方面，我们给出了保真度和部分保真度的几何及代数性质，并建立了它们与迹距离（trace distance）的联系。2．在量子纠缠问题上。我们在可分态的von Neumann熵的判定性条件基础上，以优化理论为工具，研究了可分态的量子熵的稳定性条件，给出了可分态有特殊正交分解的判定定理。3.在量子熵的研究中，我们给出了具有优化关系的量子态的量子熵相等的刻画，并在无限维空间上进一步延伸上述结论；我们也给出了保持量子熵的量子运算的结构及无限维Uhlmann定理的形式。4.在算子理论问题上的研究。我们主要研究与量子信息相关的算子理论问题,例如:广义自伴算子代数的序结构,特别是在逻辑序下,下确界与上确界的存在性判定定理,及它们的表示形式，我们也考虑了一些与算子数值域相关的算子概率的代数几何性质。

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