反射和Lévy随机波动率模型的研究

This project is to study the financial problems, such as option pricing, hedging, parameter calibration and so on, under two new stochastic volatility market models. One of the two research frameworks is the reflected stochastic volatility model, the other is the Lévy stochastic volatility model. The former models volatility by using reflected stochastic process, which is somewhat similar to the classic affine stochastic volatility model but in fact wholly independent of it. The latter uses the activity rate of random time to imply volatility, hence is the synthesis of Lévy process and random time. In particular, if the activity rate of the time is a reflected process, then the model is Lévy-reflected stochastic volatility model. Under the novel stochastic volatility models introduced above, the project considers the European option pricing. The key technique of the pricing problem is that we should apply some transform to the reflected stochastic process, in order to obtain analytical affine structure. Besides, exotic option pricing under Lévy stochastic volatility model is another goal of this project. In view of the complexity of this model, this goal will be realized by hedging strategy. The implement of this project further develops and enriches the stochastic volatility theory, and provides financial market the new research tools and approaches.

该项目主要研究两种新型随机波动率市场下的期权定价，对冲和参数修正等相关金融问题。这两个研究框架，一个是反射随机波动率模型，另一个是Lévy随机波动率模型。前者用反射随机过程描述波动率，和经典的仿射随机波动率模型相似但是又完全独立，后者用随机时间的瞬时变化率代表波动率，是Lévy过程和随机时间的复合。特别的，若时间的瞬时变化率用反射随机过程来刻画，即为Lévy-反射随机波动率模型。在以上两种新型随机波动率模型的框架下，该项目拟研究普通欧式期权定价。定价问题解决的关键在于对反射随机过程进行某种变换，使其具有类似仿射的解析结构。该项目还研究了Lévy随机波动率模型下奇异期权的定价，鉴于模型的复杂性，主要通过对冲策略来实现。该项目的研究进一步丰富发展了随机波动理论，为金融市场提供过了新的研究工具和方法。

2013年至2015年，项目组对美式几何步式期权定价，碳交易期货价格，带控制的分支过程，带反射和带skew边界的随机过程进行了研究。发表了篇学术期刊论文4篇(包含已接收论文)，其中三篇SCI，一篇核心期刊。另有一篇已投SCI期刊，两篇正在整理中的科研工作。主要内容和成果为.1. 几何步式期权弥补了障碍期权设计的缺陷，Linetsky和Davydov等人研究了欧式几何步式期权的定价公式，我们在前任工作基础上研究了美式几何步式期权的定价。对于永久美式期权，我们通过Feynman-Kac公式以及光滑性条件给出了定价公式；对于有限时间美式期权，我们给出了互补条件并通过差分方程给出了数值解。.2. 随着国际社会对温室气体特别是二氧化碳排放的控制，碳交易在欧美和中国等国家和地区间形成一个交易市场。Nel 已经对碳交易衍生产品利用几何布朗运动和布朗桥进行建模，我们的工作有两个创新，一个是模型上考虑了跨期不可存储和跨期可存储两指机制下的碳价格模型，在此模型上建立碳期货价格公式，该价格可以通过带边界条件的偏微分方程来表示；二是方法上使用了有限体积积分法，经过和Nel给出的Black近似公式对比，有限体积法计算效果和收敛速度更快。.3. 作为一个独立的兴趣，我们研究了带控制的分支过程。分支过程的灭绝和极限问题已经有很多研究成果，我们研究了后代产生机制受控于某个控制函数，且每个个体产生的后代数依赖于当前种群数量的分支过程。在适当的矩条件下，Kuster利用鞅理论已经研究了该分支过程的发散率问题，受Gonzalez 等人的影响，我们研究了该分支过程的下临界行为。我们首先证明该分支过程是一个不可约的非周期马尔科夫链，其次我们证明在下临界条件下，该过程依分布收敛到一个有限非退化正值随机变量。.4. 带反射或者skew边界的随机过程成为近期研究的热点，反射随机过程是skew随机过程的特殊形式。通过适当变换，skew过程可变成金融中的自激发模型，因此有重要的应用价值。我们主要研究了该类过程的一些分布性质和统计性质，研究期间遇到很多困难，也尝试过很多方法，刚有一些进展。这些进展主要是特殊形式skew过程的参数统计推断和马尔科夫调制skew过程的一些分布性质，这些研究将以后续成果的形式追加。

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