Banach空间中几类非线性算子微分系统的解及相关基本理论的构建

In this project, we carry out the in-depth research of solutions to several classes of nonlinear operational differential systems in Banach spaces and construction of related basic theories. Our main research contents include asymptotic behaviour as well as globle existence and uniqueness of solutions to nonlinear operational differential systems with integral type damping terms in the case of wave kenerl; solutions to nonlinear operational fractional differential systems influenced by the linear part; solutions to nonlinear nonautonomous operational differential systems under period and pseudo almost automorphic settings; and some related basic issues: some problems on operator inequalities, fixed point theory of nonlinear operators and propagator families. We will make important developments on the study of the following key problems: "How to establish the criteria of the asymptotic behaviour as well as of globle existence and uniqueness of solutions to nonlinear operational differential systems with integral type damping terms?", "How to determine the solutions to the Cauchy problem for nonlinear operational fractional differential systems with non-densely defined main operators and the well-suited operator families?"; "How to judge the existence of the period solutions to period nonlinear nonautonomous impulsive operational differential systems?"; "How to set up novel Jensen-Mercer type operator inequalities and Darbo type fixed point theorems for nonlinear operators?", etc., so that the existing relevant theories will be improved essentially.

本项目将对Banach空间中几类非线性算子微分系统的解及相关基本理论的构建开展深入的研究，内容包括: 带有积分阻尼项的非线性算子微分系统整体解的存在唯一性与渐近态; 受线性主部影响的Banach空间中半线性分数阶算子微分系统的解; 周期和伪概自守框架下的非线性非自治算子微分系统的解; 以及相关基本理论：算子不等式理论、非线性算子不动点理论、传播算子族理论的几个基本问题的研究。我们将在“如何建立波动型积分核情形下带有积分阻尼项的非线性算子微分系统整体解的存在唯一性与渐近性判别法则？”、“怎样确定主算子不稠定的分数阶齐次方程Cauchy问题的解及与之配套的算子族？”、“如何判别具有周期非线性项的非自治脉冲算子微分系统有周期解？”、“怎样建立新型的Jensen-Mercer 算子不等式及非线性算子的Darbo型不动点定理？”等关键问题的研究中取得重要进展，使现有的有关理论得到本质性的推进和完善。

我们研究了一类具有无穷记忆的二阶抽象发展方程的耦合系统的渐近性态，在比已有相关结果都要弱的基本条件下，建立了这类系统的渐近性定理和最优的能量衰减估计；给出了判别主算子不稠定情况下非齐次分数阶算子微分方程Cauchy问题的适定性的基本法则；在更宽泛的相空间中，建立了关于脉冲时滞非自治微分系统的周期解存在性定理；在具有互补摩擦阻尼和记忆效应的算子微分方程的初边值问题解的存在唯一性、一致指数衰减率和多项式衰减率的研究中，我们成功地去掉了记忆效应区域包含部分系统边界这个以往相关研究论文中都需要的基本条件，获得了和之前结果一样的指数衰减率和多项式衰减率；揭示了具有不同参量的Hilbert空间中的算子Heinz平均的序关系的两种优化形式；找到了研究受动力边界条件控制的一类非线性阻尼波动方程的初边值混合问题解的动力学性质的一种新方法；建立了一些新的算子迹不等式；在不借助于Ljusternik-Schnirelmann 畴数理论的情况下, 建立了关于对主算子为\lambda-Laplace算子的带有的不同位势函数的一类分数阶微分耦合系统解的存在性、多重性和集中性定理；还建立了一系列其它的研究结果。项目执行期间，我们在 《SIAM J. Control Optim.》（美，SCI）、《J. Differential Equations》（美，SCI）、《Z. Angew. Math. Phys.》（德， SCI）、《Nonlinear Analysis TMA》（美，SCI）、《Banach J. Math. Anal.》（美，SCI）、《Electron. J. Differential Equations》（美，SCI）、《J. Nonlinear Convex Anal.》（日，SCI）、《Entropy》（SCI）、《J. Math. Anal. Appl.》（美，SCI）、《Discrete Contin. Dyn. Syst. - Series S》（美，SCI）、《Appl. Math. Comput.》（美，SCI）等国外刊物上发表论文18篇; 培养了博士2人, 硕士生2人。项目负责人2015年至2018年（连续4年）入选了中国高被引学者榜单，是上海交通大学数学学院唯一入选者。

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