带相依增量的随机游动的相关理论研究及其应用

结题报告

项目介绍

AI项目解读

基本信息

批准号：
11401415
项目类别：
青年科学基金项目
资助金额：
22.0万
负责人：
程东亚
依托单位：
苏州大学
学科分类：
A0211.概率极限理论与随机化结构
结题年份：
2017
批准年份：
2014
项目状态：
已结题
起止时间：
2015-01-01 至2017-12-31

项目参与者：
成凤旸；严继高；田少龙；邓建卫；
关键词：
极限定理精致大偏差随机加权和随机游动相依结构

项目摘要

Random walk theory，including renewal theory of random walks, tail asymptotics of random sums, etc., is one of the elementary probability theories, which has important and extensive applications in many fields, such as large deviation theory of random sums, risk theory, queuing theory, among many others. While strong law of large numbers and elementary renewal theorems of random walks are important parts of renewal theory. When the increments are independent to each other, there have been already mature results. However, related variables are usually dependent in practice. For a long time, there has not been any substantial progress in this field. So, one of the purposes of this research is to establish elementary renewal theorems and strong law of large numbers for random walks with dependent increments. The another object of this research is to discuss tail asymptotics of random sums and their maxima with dependent primary random variables. The obtained results will be applied to investigating precise large deviations and finance and insurance respectively.

随机游动理论，包括随机游动的更新理论、随机加权和的尾渐近理论等等历来是概率论的基本理论之一，它在诸如随机和的大偏差理论，风险理论，排队论等等领域都有重要而广泛的应用。而随机游动的基本更新定理及强大数律，是随机游动理论的重要组成部分。当随机游动的增量相互独立时，这方面的研究早已有了成熟的结果。然而在现实生活中相关变量往往是相依的, 遗憾的是这方面的研究在很长一段时间内没有实质性的进展。本项目的研究目标之一就是建立带相依增量的随机游动的基本更新定理和强大数律。本项目的另一研究目标则是讨论带相依初始变量的随机加权和及其最大值的尾渐近性。对这两个方面的研究结果，我们将分别给出它们在大偏差理论和金融保险中的应用。

结项摘要

随机游动理论，包括随机游动的更新理论，随机加权和(随机和)的尾渐近理论等，历来是概率论研究的重要组成部分。它不但自身具有重要的理论研究价值，而且在诸如随机和的大偏差理论，风险理论，排队论等等领域都有重要而广泛的应用。. 本项目主要从如下两个方面研究了随机游动理论。. 一是关于带相依增量的随机游动的更新理论。我们系统地研究了增量为宽象限相依（widely orthant dependent，WOD）随机变量的随机游动的一系列经典问题，包括带WOD增量的随机游动的强大数律，带WOD增量的随机游动生成的相关计数过程的基本更新定理，WOD随机变量的随机和的尾渐近性问题及WOD随机变量加权和的强收敛性问题。为此，我们研究了WOD结构下截尾随机变量和的尾概率不等式问题，并建立了WOD增量的随机游动的弱大数律，讨论了带WOD增量的随机游动所生成的计数过程的一致可积性及完全收敛性等问题。所得结果被应用到破产概率及大偏差问题中。. 二是带相依增量的随机加权和及其最大值的尾渐近性及其在金融保险中的应用。在初始变量分别为线性宽象限相依(linearly wide quadrant dependent，LWQD)及条件线性宽象限相依(conditionally linearly wide dependent, CLWD)时，我们研究了随机加权和及其最大值的尾渐近性，得到了与初始变量相互独立时相同的结论，从而大大扩大了所得结果的应用范围。LWQD结构除了包含经典的LNQD结构外，还包含了一些正相依的随机变量和其它一些随机变量。而CLWD结构是我们首次提出的一个随机变量的新的相依结构，它包含了很多常见的相依随机变量。特别地，非常有名的n元Samarnov分布服从这个相依结构。我们在这个结构下，将所得的随机加权和及其最大值的尾渐近性结果应用到风险模型中，给出了一类同时带金融风险和保险风险的离散时破产概率的渐近估计，从而对保险公司进行风险控制及清偿能力估计提供了理论支撑。. 除此之外，我们还进行了一些相关的研究，得到了一些好的结果。