麦克斯韦方程组奇异解的L2 投影拉格朗日连续有限元方法

本项目将研究麦克斯韦方程组奇异解（即不属于H1空间的解）的L2投影拉格朗日连续有限元方法，研究内容包括特征值问题、依赖时间问题及其在间断材料介质情形下的数值求解；并包括与所研究有限元方法实现相关的多重网格、自适应算法研究。通过麦克斯韦方程组基准问题的一系列数值实验，检验所建立理论结果、分析对比各种有限元方法的有效性与适用性，同时也对来自于流体-结构交互作用和磁流体力学MHD中某些模型问题做实例计算，为推广 L2投影拉格朗日连续有限元方法到实际应用取得经验。重点是奇异解、伪特征模式的有限元方法与分析；建立与有限元方法实现相关的多重网格法以及自适应方法的收敛性理论。由于区域凹角、区域多连通性、间断材料系数、奇异激励源，都会导致麦克斯韦方程组及任何涉及 Curl 和 Div 算子更一般数学物理问题（如MHD,流体-结构问题，超导问题，液晶问题等）的解具有奇异性，故研究成果将具有更大范围的应用。

本项目已按计划顺利完成项目中制定的研究内容和研究目标，达成了预期研究效果。本项目取得了重大原创性创新研究成果。所开展的研究是关于麦克斯韦方程组奇异解（即不属于H1空间的解）的L2投影拉格朗日连续有限元方法的研究。在本项目的支持下，针对相关方法，也研究了其他问题，如 Navier-Stokes 方程。主要研究成就是针对麦克斯韦方程组的非 H1 空间极弱解，提出、发展了新的拉格朗日连续有限元方法，建立了完整的严格的新的数值分析理论，包括方法构造，稳定性，收敛性，误差估计等，并通过一系列基准问题的数值实验，证实了新方法的有效性与新理论的正确性。所取得的重大进展如下：发展了一整套新的拉格朗日连续有限元方法及其理论，解决了非H1 空间奇异解连续元求解、特征值问题连续元的伪特征模式、间断介质问题的连续元方法等电磁场计算中的重大挑战性问题。对于具有非H1 空间奇异解的问题，能否用主流数值方法拉格朗日连续有限元方法正确数值求解，是有限元历史上长达半个多世纪的重大挑战之一。对于任何非 H1 空间解（从 Dirac 分布到 L1， L2， Hr 空间解），本项目所发展的新的有限元方法都可以正确逼近，具有最优误差估计与收敛性。麦克斯韦方程组的拉格朗日连续有限元方法的另一个重大挑战是所谓的伪特征模式问题。 本项目基于新的拉格朗日连续有限元方法，建立了关于拉格朗日连续有限元方法第一个完整的严格的特征值理论，第一次完整地解决了伪特征模式问题。对于具有间断、各向异性、非齐次介质问题，本项目发展了第一个全局H1 协调拉格朗日连续有限元方法。由于区域凹角、区域多连通性、间断材料系数、奇异激励源，都会导致麦克斯韦方程组及任何涉及 Curl 和 Div 算子更一般数学物理问题（如MHD,流体-结构问题，超导问题，液晶问题等）的解具有奇异性，故研究成果将具有更大范围的应用。在本项目的支持下，已经发表了论著18篇。另已投稿8篇。在国际顶尖著名SCI期刊 上发表多篇重要论文：SIAM Journal on Numerical Analysis 2 篇，Numerische Mathematik 2篇， Mathematics of Computation 1篇， Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 2 篇。

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