群环的代数K理论及其结构

For a finite group G and n≥2 ,it will be proved that NKn(ZG)≠0,which will imply that NKn(ZG) is infinitely generated. Similar studying will be carried to infinite group. For a finite group G, the torsion part of Kn(ZG) will be discussed. The structure of K2 of a truncated polynomial ring will be determined. Similar research will be done for a finite commutative ring. In the research area of group ring, we will study the structure of G-stable ideals of a commutative group algebra over a field under a group G-action.

对有限群G及n≥2, 拟证明 NKn(ZG)≠0,这将意味着NKn(ZG)是无限生成的。对无限群G，进行类似地研究。对有限群G，讨论NKn(ZG)的挠部分的结构。确定截断多项式环的K2群的结构。类似地，我们将研究有限（交换）环的K2群。在群环方面，将研究域上交换群代数在群作用下的稳定理想的结构问题。

本项目取得的主要成果如下: . 设G是n阶有限交换群，Γ是QG中的极大Z-序。我们得到了Γ的一个具体描述，当G是基本p群和循环p群时，给出了K_2(ZG/nΓ)阶数的下界，并证明了它是平凡群当且仅当n是没有平方因子的整数。当p是正则素数时，对于有限交换p-群给出了K_2(ZG)阶数的下界。确定了K_2(C_2×C_2)的结构，同时证明了Wh_2(C_2×C_2) 是秩为2的初等2群。这是非循环群的整群环的K_2群的确切结构目前已知的唯一例子，它也提供了二阶Whitehead群非平凡的唯一例子。. 证明了多项式映射与Hessian多项式映射之间的线性三角化的等价性，然后证明了某些Keller映射的线性三角化，以及二次线性Keller映射之间的某些关系。. 对一些特征0上任意亏格g的光滑、射影代数曲线族X，我们首先构造了其上的g个K_2(X,Q)中的元素，证明了这些元素是线性无关的。对于数域的情况，证明了上述考虑的某些曲线族，所构造的元素是整元素，即属于K_2(X,Z)。证明了在任何数域上都有亏格为任意合数g的非超椭圆曲线，使得其上有g个K_2(X,Z)中的线性无关的整元素，部分解决了著名的Beilinson猜想。最后给出有两个tame符号核中线性无关整元素的实二次域上的椭圆曲线族。. 利用Bak的完备化方法和Stein的相对化方法，证明了奇酉群的K_1群是幂零交换的，解决了Bak提出的一个公开问题。. 研究了有限群环F_qC_n密切相关的有向迭代图结构，通过考察该图的对称几种情形，给出了有向迭代图G(F_qC_n，k)是正则图的充分必要条件。. 令F是特征p的域，K是特征不为p并含有p次本原根的域。假定有限群G在域F上的向量空间V上有作用，我们在确定了群代数K[V⊕V]的G-不变式理想的基础上，确定了当有限群G为有限域上的酉群和正交群时，群代数K[V]和K[V⊕V]之间的不变式理想之间的对应关系。

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