偏正态混合模型的统计推断及其拓展

This project concerns statistical inference in skew normal mixture models, which attracted growing attention recently. However, due to the nonregularity of model, the classical maximum likelihood estimation (MLE) is not well-defined and the likelihood ratio test (LRT) statistic loses the elegant asymptotic results when testing the number of components. To overcome the drawback of MLE, this project will originally propose a new penalized likelihood approach and the resulting penalized MLE will be proved to be strongly consistent and asymptotically efficient. For testing the number of components in skew normal mixtures, based on the proposed penalized estimator and the EM-test approach, a novel EM-test statistic will be established and the limiting distribution will be investigated. Efficient algorithms will be developed respectively for computing the corresponding penalized estimator and the EM-test statistic. Finally, the above results such as parameter estimation and testing the number of components in skew normal mixtures will be extended to multivariate skew normal mixtures and skew normal mixture regression models.

本项目关心的是偏正态混合模型的统计推断问题，该模型近年来受到了极大的关注。然而，由于模型的非正则性，经典的极大似然估计并未被正确定义；进一步地，在检验类别个数时，似然比检验统计量也失去优良的渐近性质。为克服模型的估计缺陷，本项目原创性提出一种新的惩罚似然方法，并将在理论上证明所提出的惩罚估计具有强相合性和渐近有效性。对于类别个数的检验，本项目将基于所提出的惩罚估计和近年来的EM检验方法构造针对偏正态混合模型的EM检验统计量，并研究其大样本下的极限分布。上述两方面将分别开发有效的算法，以计算相应的惩罚极大似然估计和EM检验统计量。拓展方面将上述模型的参数估计和类别个数检验的结果推广到多元偏正态混合模型和偏正态混合回归模型。

在分析具有异质性和非对称性数据时，偏正态混合模型提供一种比经典的高斯混合模型更为灵活的建模方式。然而，由于无界的似然函数和发散的形状参数，该模型的极大似然估计并未被正确定义，进一步导致不理想的推断过程。为解决此问题，本项目基于惩罚似然提出一种新的估计方案，并证明在混合分布的类别个数大于或等于真实的类别个数时，相应的惩罚极大似然估计是强相合的。作为补充，本项目研究了另一种估计方案——限制极大似然估计。我们提出了一种新的尺度和偏度参数约束方案，并证明了在比传统结果更宽松的约束条件下，所提出的估计量具有相合性和渐近有效性。这较大地丰富和完善了限制极大似然估计的理论和方法。.本项目还研究了残差项服从偏正态分布的切换回归模型的可识别性问题，分别在固定设计和随机设计下证明了模型具有可识别性所需满足的理论条件，以此建立了模型的可识别性结果。在此基础上，考虑到模型的极大似然估计存在的问题，我们将惩罚似然估计引入该模型，并证明了其大样本性质。.本项目对带固定效应的广义空间面板数据模型、变系数空间误差模型和带固定效应的空间自回归面板数据模型分别研究了相应的分位数回归估计问题，同时研究了其中涉及的某些假设检验问题。对于稀疏网络重构问题，提出了一种新的压缩估计方法，即Signal LASSO，以推断网络数据中存在的连接结构。

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