奇异摄动数值模拟的多谱多尺度有限元特征值分解的研究

This project studies the properly orthogonal decomposition for the spectral multiscale finite element eigenvalue problem in the singularly perturbed simulations. For effectively approximating the numerical solutions of singular perturbation, we propose the novel spectral multiscale finite element method for the eigenvalue sub-problem, and consider the properly orthogonal decomposition for it. We construct the multiscale function space spanned by the multiscale basis functions, and make use of these multiscale bases to capture the local information of the boundary layers, and we investigate the consistently convergent and stable adaptive multiscale simulation for the singular perturbation. And there are many advantages of the proposed spectral multiscale approximations such as good accuracy, high computation efficiency and super-convergence, and so on. The spectral multiscale finite element method constructs the multiscale basis functions in the localized homogenous or non-homogenous problem. With the properly orthogonal decomposition to approximate the complicated multiscale eigenvalue, the multiscele bases have abilities to capture the properties of the microcosmic model, and thus the novel method can naturally reduce the computation costs to obtain the accurate and efficient solutions of the macroscopical problem. Based on improving the errors and emending the residuals we try to ascertain the adaptative multiscale scheme and build a new adaptive error estimator for the singularly perturbed boundary layers, and acquire the consistently convergent method which is independent of the perturbed parameters and oscillated coefficients. We generalize the method to Petrov-Galerkin type, and try to obtain the optimal function space. We will provide the corresponding theoretical studies and numerical practices, and expand the parallelly spectral multiscale finite element method's theoretical foundation and computational superiority for real life multiscale problems, then we can demonstrate the important theories and practical applications in the singular perturbation and composite eigenvalue problem with our proposed project.

针对奇异摄动问题研究多谱多尺度有限元法处理特征值子问题，利用有效的正交分解方案，得到高效数值模拟结果。通过多尺度基函数构造多尺度泛函空间，利用多尺度基捕捉边界层的局部性态，探究一致收敛的、稳定的自适应多尺度模拟，以期获得高精度、优效率、超收敛的数值结果。 多谱多尺度有限元法通过求解局部微分方程得到多尺度基函数，通过有效的正交分解处理复杂多尺度的特征值逼近，能够获取解的微观特征值信息，从而节约计算资源在宏观尺度得到高效的多尺度数值解。针对奇异摄动边界层现象，通过改进误差和残量校正确定多尺度自适应方案，建立新型的自适应误差指示子，获得与摄动参数无关的一致收敛方法，将方法推广到Petrov-Galerkin类型以期获得最优泛函空间。拓展相关理论研究和数值实践，实现并行化的多谱多尺度有限元法应用于多尺度问题的理论进展和计算优势，对于奇异摄动与特征值问题的研究具有重要理论意义和实际应用价值。

本项目以多尺度复合材料与多孔介质的微分方程为模型，奇异摄动现象为研究对象，重点研究多尺度有限元法求解奇异摄动的复合多谱特征值问题。利用有效的正交分解方案，分解出具有代表性的特征对信息，获得了一致收敛、精确高效的并行化多尺度有限元计算结果。应用于科学工程计算中的边界层与强振荡模拟，拓展了相关的理论研究与数值计算。. 使用多尺度有限元法处理奇异摄动问题，精心构造的多谱多尺度基函数能减少边界层和强振荡系数带来的不良影响。针对复合特征值问题研究多尺度有限元高效逼近，利用多尺度谱基函数有效分解特征值与特征向量信息从而形成映射矩阵，能大大减少计算资源和消耗。设计与导数有关的边界层逼近技术，实现多尺度数值构造独立的试探函数与检验函数空间的Petrov-Galerkin优化结果。将多尺度有限元法与自适应技术相结合，建立新的自适应误差指示子，减少计算时间，提高计算精度，实现快速算法，优化误差分析。. 重要结果与关键数据：(1) 研究奇异摄动数值模拟，基于新误差指示子自适应地构建最优多谱多尺度基函数，将多尺度有限元法与并行自适应技术相结合处理边界层现象。揭示奇异摄动模型的一致收敛自适应分析，探索了并行算法和优化计算，从理论分析和数值实验两条途径证明新的多谱多尺度有限元法是数值稳定的。. (2) 自适应网格的根本目标在于使用最少的计算资源来获得最具效率的数值解，从而在现有的硬件资源条件下扩大计算规模、节省计算时间和提高计算精度。以变分多尺度原理为基础，在全局范围通过改进误差和残量校正获得高阶收敛，证明了新数值方法与摄动参数的大小无关，是一致收敛的高精度、优效率方法。. 科学意义：利用并行计算集群，围绕具体实际应用，拓展相关的理论研究和数值实践，为优化误差分析和构建材料属性提供了技术支持，突出显现了并行化自适应多谱多尺度有限元法的理论意义与模拟优势，实现了“大规模存储需求”、“高精度结果需要”与“长时间计算改善”之间的科学平衡与各自优势。

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