局部 Gromov-Witten 不变量和镜像对称

Since the development of superstring theory and M theory, mirror symmetry becomes one of the most important topics in mathematics in recent 20 years. In this program, our main battlefield is the local Calabi-Yau 3-folds. We focus on the problems of all genus local mirror symmetry. .Definitely we have made more rapid progress on local Calabi-Yau geometries in recent 10 years. On the A-side there are well-developed techniques and computation methods, while on the B-side several new computable physical models are developed. However, we do not have well-defined mathematical theory for most of these models, and we have hardly any direct computations to get closed formula. Also it is not clear how A-model and these different B-models are connected. .In this project, we want to establish a new kind of cohomological field theory, by studying several known examples and correspondences. As an application, we hope to give a mathematically well-defined B-model description for local Calabi-Yau geometries and deduce the corresponding all genus mirror symmetry.

随着物理学中超弦理论和M理论的不断发展，镜像对称成为近20年来最热门的前沿课题之一。本项目将主要研究开Calabi-Yau三维流形的所有亏格的镜像对称。.众所周知，对于紧致三流形，高亏格不变量的计算多年来举步维艰，高亏格镜像对称的数学理论也一直未能建立。相对来说，开三流形在近十年来有了较大进展：对于A模型即Gromov-Witten不变量，已经建立起系统的理论；对于B模型，也发展出多个高亏格的物理模型。然而，这些模型大多缺乏严格的数学理论，也容易陷入极其复杂的递归或者组合计算，无法直接读取出各种不变量的闭公式。此外，各种模型之间的对偶性，大多也并不清楚。.本项目的主要目标，是通过对几个例子的深入分析，结合本人已有的一些成果，建立起一套新的场论及相关的计算工具。作为一个重要应用，希望得到一种数学上清晰且能够直接计算的局部B模型场理论，并最终建立起相应的所有亏格的局部镜像对称。

经典的镜像对称，描述了一个CY三维流形的Kahler结构的模空间和其镜像流形的复结构的模空间之间的对应。但是这种对应，实际上是一种局部的对应，他们存在于大Kahler结构极限点的邻域和大复结构极限点的邻域之间。由Witten的思想启发，范辉军-Jarvis-阮勇斌近些年通过量子奇点理论构造了一种新的计数不变量，目前被称之为Fan-Jarvis-Ruan-Witten不变量。这些不变量给出了模空间上另一个极限点——orbifold点附近的理论。在这些极限点，物理学家猜想也存在对应的LG镜像定理。更进一步，物理学家提出如下的Landau-Ginzburg/Calabi-Yau对应猜想。它声称对于五次超曲面的GW理论，其信息可以完全由相应的奇点理论(FJRW理论)来重构。和GW理论中计数不变量是数靶空间上的曲线条数不同，FJRW理论某种意义上是数Witten方程的解得个数(包含自同构的信息)。因此他们之间的联系是相当非平凡的。.. 2016年，本人和Dustin Ross合作，完成了亏格1的LG镜像定理的证明，该结果(arXiv:1611.08876)已被欧洲数学会的新代数几何杂志Algebraic Geometry接收。这个工作也是后面我们用MSP理论来解决BCOV猜想的一个起点之一。.. 2017年，通过进一步对量子化公式的结构进行分析，结合Zinger的镜像定理，本人完成了亏格1的LG/CY猜想的证明(arXiv:1703.06955)，这是自Chiodo-阮勇斌2010年Inventiones文章证明亏格0的LG/CY猜想之后的第一个高亏格的进展，也是第一个实现了非半单上同调场论的高亏格LG/CY对应的例子。.. 最后，一个值得提及的其他成果是，2017年，候选人和張懷良-李卫平-周杰合作，通过MSP理论给了Zinger的亏格1的镜像定理的一个新的证明(arXiv:1711.10118)，作为MSP理论有效性的一个检验，该结果已被IMRN接收。

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