基于剖面似然的若干新统计推断方法研究

The profile likelihood is a commonly used method for statistical inference. It could yield efficient estimator and is computationally efficient. We will study three new methods based on the profile likelihood method in the present project. First, we will propose a new method for longitudinal data analysis. This method is based on profile likelihood but different from the method in Chen, Tang & Gao (2017), since the new method can incorporate time and covariate information into the covariance structure and can process non-monotonic missing longitudinal data. Thus the new method will be more flexible, which is more useful in practice. Second, we propose a new likelihood ratio test method based on profile likelihood for the hypothesis testing of parameters in linear regression models. This method will be more flexible and useful since the assumption of error distribution is not needed. The newly proposed profile likelihood ratio test will outperform the likelihood ratio test when the error distribution is falsely assumed. Third, the log-concave maximum likelihood estimator (LCMLE; Cule, Samworth & Stewart, 2010) has very good theoretical properties. It does not need to choose the smoothing parameters, compared with the traditional kernel smoothing method. We will present a profile likelihood method based on LCMLEt. We will study the theoretical properties of the three newly proposed methods.

剖面似然是一种常用的统计推断方法，它计算简便且能得到有效估计。本项目将从三个方面提出基于剖面似然的新方法。首先，我们将提出一种基于剖面似然的纵向数据分析新方法。不同于Chen,Tang&Gao(2017)，该方法可以将时间和协变量信息纳入协方差矩阵结构并且可以处理非单调缺失的纵向数据，从而该新方法将更加灵活，在实际应用中也将更加实用；其次，对于线性模型的参数假设检验问题，我们将提出一种基于剖面似然的新型似然比检验方法，该方法无需假设误差分布，将更加灵活实用，尤其当人们错误地假设误差分布时，新提出的剖面似然比检验将优于似然比检验；第三，最大对数凹密度似然(Cule,Samworth&Stewart，2010)具有很好的理论性质，相比于核光滑方法，它不需要选择光滑参数，我们将提出一种基于最大对数凹密度似然的剖面似然方法。我们将在该项目中研究上述三个方法的理论性质。

在各种统计模型中，核回归方法和剖面似然是常用的统计推断方法。本项目已经完成了如下五个方面的研究工作。首先，我们研究了基于剖面似然的纵向数据分析方法并研究了其性质。具体来说，1. 提出时空函数型/纵向数据模型和基于核回归的估计方法，并研究了其理论性质和有限样本表现；2. 考虑函数型/纵向数据的单调回归问题。我们提出了基于核回归的估计方法，并研究了其理论性质和有限样本表现；3. 对于纵向数据协方差矩阵动态建模的多样性，我们提出了一种经验似然的新方法结合不同动态协方差矩阵建模的优点，并研究了所得估计的性质; 4. 我们将协变量信息引入协方差矩阵，基于剖面似然方法，用核方法估计残差（标准化后）的密度函数，最大化估计似然从而得到感兴趣参数的估计，该方法无需假设误差的分布，我们研究了所得估计的优良性质。其次，我们研究了基于剖面似然方法的似然比检验及其性质。具体来说，1. 我们提出了线性模型参数检验问题的剖面似然比检验。我们所提出的检验基于密度函数的估计，不依赖于误差项的密度函数，从而无需假设误差项的密度函数。这增加了统计推断的准确性，也为实际数据分析提供更加灵活的选择，即使当残差项的二阶或更高阶矩不存在时也能有很好的检验效果。我们还研究了剖面似然比检验的Wilks现象以及其关于power的结果；2. 针对条件矩限制模型中参数的假设检验，我们提出了DM-DL检验统计量来检验所考虑参数是否等于事先设定的值。第三，我们研究了最大对数凹密度似然的剖面似然方法。具体来说，1. 为了提高Cox模型的估计效率，我们提出了一种新的结合外部信息的方法，该方法结合了剖面似然估计方法和经验似然估计方法。我们证明了该方法在大样本性质和有限样本下的优越表现；2. 通过对数凹密度估计方法估计误差密度函数，使得估计似然达到最大而得到所感兴趣参数的剖面似然估计。我们研究了所得估计在大样本、模拟和实际数据分析中的优越表现。第四，我们我们研究了核方法在高维分类问题中的应用。第五，我们提出了深度神经网络的对抗图像生成的灵活有效算法;对于条件独立性检验问题，我们提出了一种新颖且快速的算法。

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