模形式Galois表示的计算及其应用

The research on Galois representations associated to modular forms is one of the focuses in modern number theory. However, the research on the computational aspects of modular Galois representations is still not developed and is one of the frontier disciplines...In this project, the content consists of .1. Discuss how to compute Galois representations arising from modular forms with any level. Propose implementable algorithms to explicitly compute the modular Galois representations. .2. The Fourier coefficients of modular forms are accessible if the modular Galois representation is computed and this has been applied for Ramanujan's Tau function. In this project, we will do further work on how to efficiently compute the Fourier coefficients. Moreover, we will do the computations on the modular forms with level 1 and then discuss the distribution of the Fourier coefficients. .3. We will discuss the computations of mod l modular Galois representations for prime l which is ramified in the coefficient number fields of modular forms. Then we apply the results to solve the inverse Galois problem for certain finite groups...The researches in the project contain theoretical and computational aspects of modular Galois representations. Moreover the results will be applied for solving many interesting problems. Therefore, our researches in this project are worth carrying out.

模形式的Galois表示是现代数论研究的热点之一。然而，关于模形式伽罗瓦表示的计算方面的研究是近年来刚刚发展起来的，是当代数论研究的前沿问题之一。. 本项目的主要内容包括：1.研究如何计算level为任意正整数的模形式的伽罗瓦表示，提出可实现计算模形式伽罗瓦表示的算法。2. 对模形式伽罗瓦表示的计算，可以用来计算模形式傅里叶系数。本项目将进一步研究如何有效计算该系数，并把关于Ramanujan Tau函数的相关计算，推广到计算一般的level为1的模形式的系数上，从而讨论其傅里叶系数的分布情况。3.本项目还将讨论当素数l在模形式的系数数域中分歧时，关于mod l 伽罗瓦表示的计算算法，及其在伽罗瓦反问题上的应用，即对有限域上二阶一般线性群的某些子群，判断其是否同构于某个数域的伽罗瓦群。. 本项目的研究包含理论创新和具体应用，研究内容是目前迫切待解决的问题

模形式的Galois表示是现代数论研究的热点之一，而关于模形式伽罗瓦表示的计算方面的研究是当代数论研究的前沿课题之一。本项目对模形式Galois表示的计算及其应用展开研究，主要内容和结果包括：1. 推广了Edixhoven等人的结果，提出优化的计算模形式伽罗瓦表示的多项式时间算法，使之不仅对level为1的情况成立，而且对任意level都成立。我们也给出一些计算实例，即对level取1，2，3，4，5，6，weight等于12的newform，当l小于13时，找到新的newform，使得新的模形式用于定义伽罗瓦表示的Jacobian簇具有更小的维数，从而实现简化计算的目的；2. 利用上述结果，讨论了最大同余子群取到Γ_0的充分必要条件；3. 把计算模形式的mol l的伽罗瓦表示的算法应用在l<k-1的情况，并给出了在此情况下实际计算伽罗瓦表示的有效算法，实际计算了当k=16,20,22,26，l为exceptional素数时的所有情况；4. 作为应用，我们把关于Ramanujan Tau函数的相关计算，推广到了其它level为1的模形式的傅里叶系数上，计算得到傅里叶系数对应Lehmer猜想的上界。

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