动力学模型的数值模拟及并行计算的研究

This project concerns certain problems for solving kinetic models numerically and their parallel computing. Compared to fluid models, kinetic models can be used to better describe some physical phenomena by introducing velocity variable. However, the additional variable increases computational complexity in numerical simulation. Thus, suitable numerical methods should be investigated to solve kinetic models. In this project, the following problems of numerical resolution for kinetic models will be studied: (1) For the Semi-lagrangian method, how to eliminate numerical oscillation; (2) Again for the Semi-lagrangian method, how to obtain a more stable and higher order time discretization method; (3) How to solve a moving boundary problem on Cartesian mesh; (4) How to deal with boundary problem with stiff source. In order to verify the feasibility of new numerical methods, we will apply these methods to solve the 4D Drift-Kinetic model and Boltzmann equation with moving boundary condition. Finally, the project will study corresponding parallel algorithms of above numerical methods, and create a parallel numerical package, which can be used by researchers engaged in related research.

本项目旨在研究动力学模型数值求解中的若干问题及其并行化计算。相对于流体模型，动力学模型中引入了速度变量，因此后者可以更好地描述自然界的物理现象。然而，新增的量变也增加了数值模拟的计算复杂度，所以需要为动力学模型找到更合适的数值解法。本项目将研究动力学模型数值求解中的以下几个问题：（1）用半拉格朗日方法求解时，如何去除数值扰动；（2）对于半拉格朗日方法，如何获得更高阶更稳定的时间离散方法；（3）如何在笛卡尔网格下求解可移动边界问题；（4）如何处理边界问题中的刚性源。为了验证新的数值方法的可靠性，我们将应用这些数值方法来求解四维偏移模型和可移动边界条件下的波尔兹曼方程。最后本项目将研究相应的并行算法，并编写成并行数值求解动力学模型的软件包，供从事相关研究的科研人员使用。

本项目是针对核聚变的相应数值模拟方法的研究。其中用于模拟核聚变反应的方程为两类，一类是用于描述等离子体运动的动力学方程，另一类是用于描述电场的强异向性椭圆方程。.首先，针对动力学方程，其主要目标是要使数值计算的速度快且计算准确。（1）项目中针对四维的Drift-Kinetic方程提出了混合型方法，即在扰动线性增长部分用Semi-Lagrangian方法，而在非线性增长部分用有限体积法。这样做不仅有效快的计算速度，同时还有很高的计算精度。（2）针对有限体积法，提出了混合型的数值能量构造方法。它结合了一阶精度的抗数值耗散方法和高阶精度的WENO方法，通过选取适当的组合系数，从而使算法在处理非光滑解时自动选择抗数值耗散方法，而在处理光滑解时自动选择高阶精度的WENO方法。（3）核聚变反应装置的形状不规则，因此在数值求解过程中带来了困难。为此，项目提出了参数化的方法，即通过引入参变量，使不规则的几何区域映射到规则几何区域中，然后就可以应用笛卡尔网格下的数值计算方法。.其次，针对强异向性的椭圆方程，如果用经典的数值方法去求解，会受到强异向性的影响，造成数值计算不稳定。另一方面，一类渐近算法可以处理带有强异向性的椭圆方程问题。然而，这类方法由于是鞍点问题，所以求解效率并不高。项目中提出了基于迭代方法的高效渐近算法，并将其应用在三维强异向性的椭圆方程的求解中，相比原来的渐近算法，大大提高了求解效率。

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