Navier-Stokes方程支配的变分和半变分不等式的自适应间断Galerkin方法

The project studies discontinuous Galerkin (DG) methods for numerically solving variational and hemivariational inequalities controlled by Navier-Stokes (NS) equations. Slip and leak phenomena appear in many fluid dynamics problems, which can be described by NS equations with nonlinear slip or leak boundary conditions of frictional type. The boundary conditions of these problems are subdifferentiable, so these problems can be modeled by variational or hemivariational inequalities. To solve the NS equations, compared with continuous finite element method, DG methods are more stable and accurate. DG methods are local conservative by design, and can capture discontinuous physical quantities. In addition, they are ideally suited for implementing adaptive algorithm and parallel computing. Through the research of this project, we will derive and design stable and efficient DG schemes for these variational and hemivariational inequalities, establish a priori error analysis, and study a posteriori error estimates to derive reliable and efficient error estimators for implementing adaptive DG algorithm. The main goal of this project is to establish a theoretical foundation for efficiently solving variational and hemivariational inequalities controlled by NS equations; furthermore, it will serve as a theorectical guideline of numerical simulation and algorithms design for related practical problems, so that we can solve large scale problems with high precision under existing hardware conditions.

本项目主要研究间断Galerkin（DG）方法数值求解Navier-Stokes（NS）方程支配的变分和半变分不等式。很多流体动力学问题有滑移和渗透现象，需要由带有摩擦型非线性滑移或渗透边界条件的NS方程描述。这类问题的边界条件具有次可微性，可以被变分或半变分不等式很好的刻画。与连续有限元相比，DG方法求解NS方程更具稳定性、准确性，且能保持物理量的局部守恒性，捕捉到物理量的间断信息，可以轻松的实现自适应算法，且非常适合并行运算。通过本项目的研究，我们将推导设计这类变分和半变分不等式的DG格式，建立先验误差分析；然后研究数值格式的后验误差估计，为实现自适应DG算法提供可靠且有效的误差估计子。本项目的目标是建立起一套完整的体系，为高效计算这类问题提供理论基础，也为相关实际问题的计算模拟、算法设计提供理论指导，达到在现有硬件资源条件下，扩大计算规模和提高计算精度的目的。

本项目主要研究高效的数值方法求解Navier-Stokes（NS）方程支配的变分和半变分不等式。很多流体动力学问题有滑移和渗透现象，需要由带有摩擦型非线性滑移或渗透边界条件的NS方程描述。这类问题的边界条件具有次可微性，需要用变分或半变分不等式来刻画。与传统有限元方法相比，间断Galerkin（DG）方法求解NS方程更具稳定性、准确性，且能保持物理量的局部守恒性，捕捉到物理量的间断信息，可以轻松的实现网格自适应算法。通过本项目的研究，我们推导设计了这类变分不等式问题的DG格式，建立了先验误差分析，证明了最低价DG有限元对达到了最优收敛阶。然后，我们研究了Stokes变分不等式问题的后验误差估计，给出了可靠且有效的后验误差估计子，并实现了自适应DG算法求解此问题，达到了扩大计算规模和提高计算精度的目的。进一步，我们还给出了Stokes半变分不等式的稳定性分析，研究了此问题的有限元方法并给出了误差估计。我们还研究了半渗透介质的半变分不等式问题的DG方法，为进一步研究DG方法求解半变分不等式问题提供了思路。最近几年发展起来的虚拟元方法在求解变分和半变分不等式问题上具有独特的优势，它比DG方法的自由度少，处理网格的灵活性使得它非常适合自适应加密，在滑移边界处进行局部加密将以增加较少的自由度的代价提高计算精度。以障碍问题和摩擦问题为模型，我们首次给出虚拟元方法求解变分不等式的误差估计；我们还研究了自适应虚拟元方法求解摩擦问题，提高了求解这类问题的计算效率；我们还研究了半变分不等式的虚拟元方法，特别的，我们研究了非协调虚拟元方法求解带有非线性滑移边界条件的Stokes方程的半变分不等式问题，证明了数值格式的稳定性和最优收敛阶，为求解此类问题提供了更加高效的方法。

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