几种新型的空间结构及其应用

The convexities and smoothnesses are important components of the structural theory in Banach space and Orlicz space, which have very important applications on the theory of approximation and the fixed point. For nearly 10 years, some new convexities and smoothnesses have been introduced and researched, such as almost locally uniformly convex, weakly almost locally uniformly convex, strongly convex, nearly strongly convex, very convex, nearly very convex and series uniformly noncreasy properties and so on. This project researches these new structural properties and their applications such as the best approximation, the farthest point and the fixed point problems in Banach space and Orlicz space. Firstly, we will do in-depth researches and characterize these structural properties in Banach space, Orlicz space and all kinds of generalized Orlicz space and discuss the relationship between these structural properties and others. Secondly, we will study the applications of convexity in existence, uniqueness and almost Chebyshev set of the best approximation and the farthest point, and will further research the new hot problems in the approximation theory such as the mutually nearest , the mutually farthest point, the disturbance optimization, W-approximation and so on. Thirdly, we will establish the fixed point theory of the asymptotic expansion mapping under uniformly noncreasy series property in Banach space.

各种凸性和光滑性是Banach 和Orlicz空间结构理论中的重要组成部分之一,它们在逼近论和不动点理论中有重要应用。近十年来又有一些新的凸性和光滑性等空间结构被引入和研究，如：几乎局部一致凸、弱几乎局部一致凸、强凸、近强凸、非常凸、近非常凸和一致noncreasy系列性质。本课题研究Banach和Orlicz空间中这些凸性和光滑性等结构性质及它们在最佳逼近元、远达点和不动点问题中的应用。首先把这些结构性质在Banach、Orlicz和各类广义Orlicz空间中予以深刻的刻画，并研究它们和其它空间性质之间的关系；其次将研究这些凸性等在逼近论中最佳逼近元和远达点的存在性、唯一性、几乎Chebyshev集方面的应用，进而对共同最近、共同远达、扰动优化及其W-逼近紧性等逼近论中新的热点问题予以研究。最后我们将在一致noncreasy性质系列框架下建立渐近非扩张映射的不动点定理。

各种凸性和光滑性是Banach空间结构理论中的重要组成部分之一,它们在逼近论中有重要应用。近十年来又有一些新的凸性和光滑性等空间结构被引入，如：几乎局部一致凸、弱几乎局部一致凸、强凸、近强凸、非常凸和近非常凸。本课题研究Banach和Orlicz空间中这些新的凸性和光滑性等及它们在最佳逼近元等问题中的应用。主要成果如下:.1)利用准对偶映射的多种连续性，建立了几乎局部一致凸、弱几乎局部一致凸、强凸、近强凸、非常凸、近非常凸、强光滑和近非常光滑等一系列新特征；利用近强凸、近非常凸及近强光滑和近非常光滑性的点态性质，建立了近强凸、近非常凸及近强光滑和近非常光滑点的一系列新特征。.2) 利用Banach空间一些凸性和光滑性的点的特征，给出了最佳逼近点一系列存在性定理。特别是给出了用球套序列各种收敛性刻画了最佳逼近点一系列存在性定理。利用空间几何理论的一些技巧，构造四个反例，说明了近迫集，强近迫集、弱近迫集、逼近紧集和逼近弱紧集这些逼近论中经典近迫性质的区别。.3）利用可凹性给出了空间逼近紧性的特征刻画；利用近强凸、近非常凸及近强光滑和近非常光滑性给出了半空间的逼近紧性质特征刻画。.4）利用准对偶映射，给出了在Banach空间半空间上度量投影的解析表达式，并利用这个表达式，在近严格凸，近光滑的条件下，证明了半空间上度量投影连续性的一系列结论。.5）在Orlicz和广义Orlicz空间给出了强凸、近强凸、非常凸、近非常凸性的刻画，在Orlicz算子空间给出光滑点的刻画。.6）利用空间的自反性和近严格凸性，给出了在非线性等距嵌入领域中著名的Figiel算子的线性等距右逆存在的充分必要条件；利用严格凸性, 解决了 ALP (μ,H)空间单位球面上Anti-1-Lipschitz, 1-Lipschitz 映射的线性等距扩张问题。.7）给出了不动点性质与微分方程，抽象逼近与函数逼近等问题交叉的一些研究成果。.依托本项目，在科学出版社出版了一本40万字学术专著,在包括《J. Approx Theory》、《J. Math. Anal. Appl》、《Studia Math》、《Bull.Austral.Math.Soc》、《Acta Math. Sin.》和《中国科学》等国内外著名学术期刊上发表高水平论文19篇，其中SCI原刊13篇。

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